Vektorraum-Untervektorraum

15.06.2011, 18:04

edi

Vektorraum-Untervektorraum

Meine Frage:
Hallo, meine Frage lautet:

Sei V ein 2-dimensionaler VR über dem endl. Körper Fp.

a) Wie viele Elemente hat V?
b) Wie viele 1-dimensionale Untervektorräume hat V?

Meine Ideen:
zu a) V hat immer p² Elemente, da zu jedem n = (0..p-1) jeweils p Elemente existieren.

zu b) hier hängts, ich würde aber p Elemente sagen. Die 1-dim. Elemente wären dann 0..p-1 , der Raum ist nicht leer, Addition und Skalarmultiplikation gilt auch. Ich bin mir aber nicht sicher...

Danke

16.06.2011, 13:11

Reksilat

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RE: Vektorraum-Untervektorraum
Hallo edi,

Zu a): Die Antwort ist richtig, auch wenn ich Deine Begründung nicht so ganz verstehe.
$\begin{eqnarray*} V\cong\left\{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\middle|a,b\in \mathbb{F}_p\right\} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gibt es jeweils $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. So kommt man auf das Ergebnis.

Zu b) So ein eindimensionaler Unterraum wird immer von einem Vektor aus V aufgespannt (welcher nicht der Nullvektor ist).
Allerdings gibt es immer mehrere Vektoren, die den gleichen eindimensionalen UR aufspannen. Das musst Du dann wieder rauskürzen.
Die Antwort p ist übrigens falsch.

Gruß,
Reksilat.

16.06.2011, 16:46

edi

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RE: Vektorraum-Untervektorraum
Hi Reksilat, danke für deine Antwort.

Zu a) ja die Schreibweise ist nicht ganz korrekt. Aber gemeint habe ich das gleiche. Zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gibt es jeweils $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Zu b) fangen wir an. Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} F_{p} \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} p^{n} \end{eqnarray*}$ Elemente hat. Wenn wir $\begin{eqnarray*} v \neq 0 \end{eqnarray*}$ wählen sollen, dann haben wir nur noch $\begin{eqnarray*} p^{n} - 1 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Die Vielfachen von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ sollen gekürzt werden. Diese sind $\begin{eqnarray*} p -1 \end{eqnarray*}$ Stück. D.h. es bleiben noch $\begin{eqnarray*} \left(p^{n}-1\right)- \left(p-1\right) = p^{n}-p \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten.

Stimmt das jetzt so?

16.06.2011, 17:41

Reksilat

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RE: Vektorraum-Untervektorraum
Wo kommt denn plötzlich das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ her? Ich dachte der Körper ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p \end{eqnarray*}$ verwirrt

Und das mit dem Rauskürzen stimmt so auch nicht.
Schau Dir am besten mal ein Beispiel wie $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_3)^2 \end{eqnarray*}$ an:
$\begin{eqnarray*} V=\{(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1),(0,2),(1,2),(2,2)\} \end{eqnarray*}$
Welche Vektoren sind Vielfache voneinander? Wie viele 1-dimensionale UR siehst Du?

Gruß,
Reksilat.

16.06.2011, 18:13

edi

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RE: Vektorraum-Untervektorraum
naja um die Anzahl der Elemente in $\begin{eqnarray*} F_{p} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen rechnet man $\begin{eqnarray*} p^{n} \end{eqnarray*}$ und n ist die Dimension.

Ich versuch mal erst dein Beispiel zu verstehen. Die Vektoren mit deren Vielfachen in derselben Klammer: $\begin{eqnarray*} \{(0,0),(1,1),(2,2)\} , \{(1,0),(2,0)\} , \{(0,1),(0,2)\} , \{(2,1)\} ,\{(1,2)\} \end{eqnarray*}$ .
Es wären dann genau 5 1-dimensionale UVR, da man jeweils die Vielfachen in den Klammern wegkürzen kann. Ist das korrekt?

edit: wobei in der 1. Klammer stimmt (0,0) nicht, das sollte man noch rausnehmen. Dann sind es 6?

16.06.2011, 18:29

Reksilat

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RE: Vektorraum-Untervektorraum

Zitat:

...rechnet man $\begin{eqnarray*} p^{n} \end{eqnarray*}$ und n ist die Dimension.

Was für eine Dimension? In der Aufgabenstellung steht nur was von einem 2-dimensionalen VR. Meinst Du n=2?
Und wie "rechnet man $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ "? Das ergibt für mich keinen Sinn.
verwirrt

Zum Beispiel:
Die erste Menge ist ein Unterraum. Bei der zweiten und der dritten fehlt natürlich noch jeweils der Nullvektor $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ , der ja in jedem Raum enthalten sein muss.
Die letzten beiden Mengen können keine Unterräume sein, da so ein 1-dimensionaler Unterraum die Form $\begin{eqnarray*} \langle v\rangle=\{\lambda\cdot v|\lambda\in \mathbb{F}_p\} \end{eqnarray*}$ hat und seine Mächtigkeit somit ein Teiler von $\begin{eqnarray*} |\mathbb{F}_p|=p \end{eqnarray*}$ sein muss.
Der Vektor $\begin{eqnarray*} (1,2) \end{eqnarray*}$ spannt den Raum $\begin{eqnarray*} \{(0,0),(1,2),(2,1)\} \end{eqnarray*}$ auf, denn $\begin{eqnarray*} 2\cdot (1,2)=(2,1) \end{eqnarray*}$ (nachrechnen!).
Es sind also vier Unterräume.

Erkennst Du schon das Prinzip dahinter?

Ansonsten:
Wie viele Elemente hat $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_5)^2 \end{eqnarray*}$ ?
Wie viele Elemente liegen jeweils in einem 1-dimensionalen UR?
Wie viele 1-dimensionale UR gibt es in diesem Fall demnach?

16.06.2011, 19:29

edi

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RE: Vektorraum-Untervektorraum
$\begin{eqnarray*} V=\{(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1),(0,2),(1,2),(2,2)\} \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ Elemente mit der Dimension $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ . Charakteristik von $\begin{eqnarray*} F_{3} = 3 \end{eqnarray*}$ . Wir setzen $\begin{eqnarray*} p = 3 , n = 2 \end{eqnarray*}$ und erhalten: $\begin{eqnarray*} p^{n} = 3^{2} = 9 \end{eqnarray*}$ Elemente.

So langsam verstehe ich das Prinzip.

in $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_5) \end{eqnarray*}$ gibt es die Elemente
$\begin{eqnarray*} V=\{ (0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(0,2),(1,2),(2,<br /> 2)(3,2),(4,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(0,4),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\},\{(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4)\},\{(0,0),(1,0),(2,0),(3,0)(4,0)\},\{(0,0),(2,1),(1,2),(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,4),(4,3)\},\{(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)\} \end{eqnarray*}$

So das war jetzt ne Menge. Als Ergebnis habe ich 5 UVR.

16.06.2011, 19:43

Reksilat

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RE: Vektorraum-Untervektorraum
Die Menge $\begin{eqnarray*} \{(0,0),(2,1),(1,2),(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,4),(4,3)\} \end{eqnarray*}$ kann kein 1-dimensionaler Unterraum sein. Sie hat doch viel mehr als $\begin{eqnarray*} p=5 \end{eqnarray*}$ Elemente. Irgendwo hast Du Dich verrechnet.
Letztlich kann man aus dieser Menge zwei Unterräume bilden und kommt auf eine Gesamtzahl von sechs.

Und nun allgemein:
Der Vektorraum hat $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ Elemente, also $\begin{eqnarray*} p^2-1 \end{eqnarray*}$ vom Nullvektor verschiedene Elemente..
Wie viele vom Nullvektor verschiedene Elemente hat ein 1-dimensionaler Unterraum?
Wie viele 1-dimensionale UR gibt es demnach?

Noch ein Hinweis:
Es ist nicht sehr sinnvoll, für die Zahl 2 eine eigene Variable n einzuführen. Variablen sollten - wie der Name schon sagt - nur für variable Werte eingesetzt werden. Augenzwinkern

16.06.2011, 20:13

edi

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RE: Vektorraum-Untervektorraum
So, ich habe meinen Fehler gefunden, habe am Anfang ang. das $\begin{eqnarray*} (2,1) und (1,2) \end{eqnarray*}$ im selben Raum sind, obwohl das in $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ gar nicht der Fall ist. In $\begin{eqnarray*} F_{3} \end{eqnarray*}$ gilt das aber nicht in $\begin{eqnarray*} F_{5} \end{eqnarray*}$ . Demnach kann man $\begin{eqnarray*} \{(0,0),(2,1),(1,2),(1,3),(3,1),(4,2),(2,4),(3,4),(4,3)\} \end{eqnarray*}$ in zwei Unterräume aufteilen.

Zitat:

Wie viele vom Nullvektor verschiedene Elemente hat ein 1-dimensionaler Unterraum?

Das sind p Elemente

Zitat:

Wie viele 1-dimensionale UR gibt es demnach?

es gibt demnach p+1 1-dimensionale UR.

Ich danke dir vielmals...

edi

16.06.2011, 20:47

Reksilat

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RE: Vektorraum-Untervektorraum

Zitat:

Wie viele vom Nullvektor verschiedene Elemente hat ein 1-dimensionaler Unterraum?

Das sind p Elemente

Vom Nullvektor verschieden sind nur $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ Elemente.

Aber $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ Unterräume ist korrekt.
Freude

Gruß,
Reksilat.

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