Stochastik: Kovarianz und Varianz

15.06.2011, 18:53

peppex89

Stochastik: Kovarianz und Varianz

Meine Frage:
Ein Anleger hat ein Portfolio bestehend aus zwei Aktien im Wert von je 10.000 ?. Die erwartete Wertsteigerung nach einem Jahr von Aktie A sei 500 ? und von Aktie B 700 ?. Die Standardabweichung des Wertes von Aktie A nach einem Jahr sei 1.000 ? und von Aktie B 1.200 ?.

a) Die Aktien seien unkorreliert. Wie hoch ist der erwartete Gewinn und die Varianz des Wertes des Portfolios nach einem Jahr?
b) Nun sei die Kovarianz -500.000 ?². Wie hoch ist nun der erwartete Gewinn und die Varianz? Berechne auch den Korrelationskoeffizienten.
c) Bei welcher Kovarianz ist die Varianz am niedrigsten? Berechne auch hier den Korrelationskoeffizienten.
Hinweis: Für Zufallsvariablen X und Y gilt |Cov(X, Y)| <= sqrt(Var(X) * Var(Y))

Meine Ideen:

a)
$\begin{eqnarray*} E(A+B) = E(A) + E(B) = 500 + 700 = 1200 Var (A+B) = Var(A) + Var(B) = 1000² + 1200² = 2.440.000 \end{eqnarray*}$
b)
$\begin{eqnarray*} E(A+B) = E(A) + E(B) = 1200 Var(A+B) = Cov (A+B, A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov(A, B) = 2440000 + 2 * (-500000) = 1.440.000 roh(A, B) = \frac{Cov(A,B)}{\sqrt{Var(A)}\sqrt{Var(B)} } = \frac{- 500000}{1000 * 1200} = - \frac{5}{12} \end{eqnarray*}$

c) und hier komm ich nicht weiter... kann mir bitte jemand einen Tip geben?

Danke smile

15.06.2011, 19:02

René Gruber

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Zitat:

Original von peppex89
c) und hier komm ich nicht weiter... kann mir bitte jemand einen Tip geben?

Denk einfach mal wirklich (!) über den mitgelieferten Hinweis nach: Der liefert nämlich maximal und minimal möglichen Wert der Kovarianz bei gegebenen Ausgangsvarianzen.

15.06.2011, 19:14

loadstar123

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sorry dass ich jetzt unter dem anderen nick schreibe Hammer

also ich hab nochmal über den hinweis nachgedacht und bin auf folgendes gekommen:

$\begin{eqnarray*} -\sqrt{Var(A)*Var(B)} \leq Cov(A, B) \leq \sqrt{Var(A)*Var(B)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1200000 \leq Cov(A, B) \leq 1200000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var(A + B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov(A, B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var(A + B) \end{eqnarray*}$ minimal für $\begin{eqnarray*} Cov(A, B) = - 1200000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Var(A+B) = 40000 \end{eqnarray*}$

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