extremalproblem quader in kreiskegel

Neue Frage »

15.06.2011, 19:12	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
extremalproblem quader in kreiskegel ich habe folgende aufgabe zu lösen. Ein Quader soll in einen Kreiskegel einbeschrieben werden, wobei das Volumen maximal werden soll.Verwenden sie die Methode von Lagrange für diese Optimierungsaufgabe indem sie die Nebenbedingung für den Kreiskegel entwickeln. Der Radius der Grundfläche, die parallel zur x,y-Ebene mit dem Mittelpunkt m=(0,0,H) liegen soll, sei R. die Spitze liege in s=(0,0,0). Volumen Quader: V = abc = xyz Volumen Kreiskegel: V = 1/3 pi R^2 * H = 1/3 * pi * (x^2 + y^2) * z somit würde meine Funktion wie folgt lauten: F(x,y,z) = xyz + L * 1/3 * pi * (x^2 + y^2) * 2 ist dieser ansatz bis hierhin richtig?
15.06.2011, 23:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist so nicht richtig. Du hast NICHT in einer Nebenbedingung dargestellt, dass der Quader dem Kegel eingeschrieben ist. Das Kegelvolumen allein ist dazu nicht geeignet. Ausserdem hast du es nachfolgend falsch mit x, y, z verknüpft (z ist nicht die Höhe des Kegels). Für die richtige Nebenbedingung muss ein Diagonalschnitt durch den Quader geführt werden, denn die Berührung auf dem Kegelmantel findet nur in den Eckpunkten der Deckfläche statt. Danach wird - wegen der Ähnlichkeit von Dreiecken - eine Proportion (mit den Variablen x, y, z, und den Konstanten R, H) aufgestellt (Strahlensatz!), welche die gesuchte Nebenbedingung ist, welche dann in die Lagrange-Funktion eingeht. mY+
16.06.2011, 17:27	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn es geklappt hat sind meine hoffentlich richtigeren gedankengänge zu diesem problem als pdf angehängt. allerdings kann ich keine nebendbedingung aufstellen... [attach]20141[/attach] Edit (mY+): Besser ist es, ein Bild anzuhängen, ein PDF will nicht jeder herunterladen. vielleicht kann mir jemand die nebenbedingung nochmal genauer erklären oder sagen. vielen dank
16.06.2011, 18:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist alles recht nett und richtig. Nun sollst du die Nebenbedingung mittels Ähnlichkeit (bzw. Strahlensatz) erstellen. Das ist gar nicht so schwer. Betrachte die Ähnlichkeit des großen (aus dem Kegelumriss gebildeten) Dreieckes mit jener des oberhalb des Rechteckes liegenden kleineren Dreieckes. Für die Diagonale setze $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ . Nun? mY+
16.06.2011, 20:23	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
also langsam komme ich mir wirklich blöd vor... und mach mir immer mehr sorgen wegen der klausur.... strahlensatz lernt man in der 7. klasse oder so und ich scheine wohl zu doof dafür zu sein. aber ich glaube das könnte schon in die richtung ähnlichkeit gehen?!?? in der klammer der Nebenbed. fehlt noch das -h. [attach]20144[/attach] [attach]20145[/attach] aufgrud der sym. habe ich die Volumenformel geändert, da der quader ein quadrat als fläche hat.
16.06.2011, 20:51	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
man sollte noch erwähnen, dass a nun der diagonalen entspricht
Anzeige

16.06.2011, 22:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe, dass du dich wirklich sehr bemühst und auch schöne Skizzen dazu machst. Leider sind dir aber dabei gravierende Fehler unterlaufen. 1. Wo sind die Seiten des Quaders hingekommen? Diese heissen doch x, y und z, nach wie vor. Bleibe bei dieser Bezeichnung und führe nicht statt dessen a und h ein. Die Grundfläche ist anfangs noch nicht als Quadrat, sondern als Rechteck anzusehen. 2. Du darfst nicht von vornherein voraussetzen, dass die Grundfläche des Quaders ein Quadrat ist, das wird erst im Verlauf der Rechnung offenkundig. 3. $\begin{eqnarray} \tan \alpha = \frac R H \end{eqnarray}$ Die 2 bei dir im Nenner gehören dort nicht hin. R und H sind die gegebenen Abmessungen des Kegels (!) 4. Die in deiner Lagrangefunktion befindliche Nebenbedingung ist unzutreffend. Dort würde nämlich noch h fehlen. Und wie gesagt, statt der Diagonalen ist deren Term mit den Seiten der Grundfläche einzusetzen. Also berechne auch in dem kleinen Dreieck $\begin{eqnarray} \tan \alpha = \frac {\sqrt{x^2+y^2}}{2(H - z)} \end{eqnarray}$ Hier müssen die 2 in den Nenner, weil es sich nur um die halbe Diagonlae handelt. So, und anstatt auf den arctan überzugehen, was hier überhaupt nicht zielführend ist, setze einfach die beiden Tangensfunktionen gleich: $\begin{eqnarray} \frac R H = \frac {\sqrt{x^2+y^2}}{2(H - z)} \end{eqnarray}$ Nun, damit ist die gesuchte richtige Nebenbedingung geboren. Nach Ausmultiplizieren kannst du diese in die Lagrangefunktion einsetzen. mY+
17.06.2011, 01:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit du bei der nun folgenden etwas schwierigen Rechnung einen Leitfaden hast, ein paar Kontrollergebnisse: $\begin{eqnarray} L(x,y,z, \lambda) = xyz + \lambda(2RH - H \sqrt{x^2+y^2} - 2Rz) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = y = \sqrt{2R} \sqrt{\lambda} \ ; \ z = \frac H {2 \sqrt R} \sqrt{\lambda} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda = \frac 4 9 R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = y = \ldots \ ; \ z = \frac H 3 \end{eqnarray}$ mY+
17.06.2011, 15:12	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
erstmal vielen dank an mYthos für die wirklich guten und nachvollziehbaren hilfestellungen. darf man beim ausmultiplizieren der NB sagen, dass der Nenner des Bruches nicht 0 werden darf. um die gleichung zu erfüllen muss somit der zähler 0 werden. [attach]20156[/attach]
17.06.2011, 15:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das darf man. Diese Frage stellt sich allerdings nicht, wenn du die Gleichung sofort mit dem gemeinsanen Nenner ("kreuzweise") multiplizierst. Die Aufgabe ist ohnehin nur dann sinnvoll, wenn z ungleich H und H ungleich Null ist. mY+
17.06.2011, 16:25	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
ohje soviele fragezeichen in meinem kopf... sind meine ableitungen richtig? darf ich die beiden nach lanbda aufgelösten gleichungen hier gleichsetzen? [attach]20157[/attach] [attach]20158[/attach]
17.06.2011, 17:54	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
ohje ohje da ist ja auch wieder ein fehler drin! aber das ergebnis ändert sich nicht durch gleichsetzten der richtig nach lambda aufgelösten gleichungen.
17.06.2011, 20:29	kasi	Auf diesen Beitrag antworten »
sooooo leider kann ich die hoffentlich fehlerfreie rechnung nicht hochladen, da sie zu groß geworden ist. nochmals vielen dank an mYthos! [attach]20161[/attach]
17.06.2011, 23:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Ergebnisse stimmen nun exakt! mY+

Neue Frage »

Antworten »

extremalproblem quader in kreiskegel

Verwandte Themen