Volumsintegral Paraboloid

15.06.2011, 19:49

niko_graz

Volumsintegral Paraboloid

Meine Frage:
Hier eine kleine Aufgabe, würde gerne wissen ob meine Lösung stimmt:

Berechnen Sie das Volumen des Bereiches, der von den folgenden
Flächen begrenzt ist: x2 + y2 = z ? 1, z = 1, x + y = 4,
x = 0 und y = 0.

Meine Ideen:

Integrate[x^2+y^2+1, {x, 0, 4}, {y, 0, 4-x}] = 152/3

(sry wollte es zuerst im formeleditor machen nur iwie is es da nicht möglich als obere grenze des integrals 4-x einzusetzen)

Stimmt so???

Danke fü eure Hilfe!!
Mfg

15.06.2011, 21:19

niko_graz

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RE: Volumsintegral Paraboloid
Erst jetzt gesehen, die angabe sollte lauten:

Berechnen Sie das Volumen des Bereiches, der von den folgenden
Flächen begrenzt ist: x^2 + y^2 = z - 1, z = 1, x + y = 4,
x = 0 und y = 0.

15.06.2011, 22:56

Dopap

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Beispiel:

$\begin{eqnarray*} J=\int \limits_a^b ~ \int \limits_{2x-5}^{8-x^2} \! ~ \int \limits_{3x-5y-12}^{xy+333}\! f(x,y,z) \, dx\,dy \,dz \end{eqnarray*}$

beim Volumen wäre f(x,y,z)=1

schau das mal im Zitat an, und schreib dein Integral neu und lesbar.

15.06.2011, 23:29

niko_graz

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Zitat:

Original von Dopap
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} J=\int \limits_a^b ~ \int \limits_{2x-5}^{8-x^2} \! ~ \int \limits_{3x-5y-12}^{xy+333}\! f(x,y,z) \, dx\,dy \,dz \end{eqnarray*}$

beim Volumen wäre f(x,y,z)=1

schau das mal im Zitat an, und schreib dein Integral neu und lesbar.

Danke mal für die hilfe, hier mal lesbar:

$\begin{eqnarray*} J=\int \limits_0^4 ~ \int \limits_{0}^{4-x} \! x^{2} + y^{2} + 1 \, dy\,dx = \frac{152}{3} \end{eqnarray*}$

Richtig so?

16.06.2011, 00:22

Dopap

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Das Integral hat den richtigen Zahlenwert.
Wäre aber doch wohl zu einfach!

Das ist das Volumen des senkrechten rechtwinkligen gleichschenkligen Prismas mit den Basispunkten
O(0/0/0) X(4/0/0) und Y(0/4/0) nach oben (z-Richtung) abgeschnitten durch z=1+x^2+y^2

d.h. die Ebene z=0 wäre implizit die untere Begrenzung. Das ist aber nicht vorgegeben.

Vorgegeben ist die Begrenzung des Körpers durch die Ebene z=1.

Demnach müsste geklärt werden, ob die Fläche mit dem Dreieck
O'(0/0/1) X'(4/0/1) Y'(0/4/1) eine Schnittkurve hat...?

Also, was muss geändert werden?

16.06.2011, 09:29

niko_graz

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Zitat:

Original von Dopap
Das Integral hat den richtigen Zahlenwert.
Wäre aber doch wohl zu einfach!

Das ist das Volumen des senkrechten rechtwinkligen gleichschenkligen Prismas mit den Basispunkten
O(0/0/0) X(4/0/0) und Y(0/4/0) nach oben (z-Richtung) abgeschnitten durch z=1+x^2+y^2

d.h. die Ebene z=0 wäre implizit die untere Begrenzung. Das ist aber nicht vorgegeben.

Vorgegeben ist die Begrenzung des Körpers durch die Ebene z=1.

Demnach müsste geklärt werden, ob die Fläche mit dem Dreieck
O'(0/0/1) X'(4/0/1) Y'(0/4/1) eine Schnittkurve hat...?

Also, was muss geändert werden?

Naja iwie ist klar das z=1 die untere begrenzung ist, das ist schon in der impliziten funktion des paraboloids so definiert, denn dieser ist doch auf der z-Achse um 1 in positive richtung verschoben, hat also seinen ursprung bei (0/0/1).

Klingt für mich aber auch iwie zu einfach, weiß nicht wie ich das sonst angehn könnte...

16.06.2011, 15:59

Dopap

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ganz schwer soll es ja auch nicht sein.
z(x,y)=1+x^2+y^2>1 für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

demnach keine Schnittlinie mit dem "oberen" Dreieck. Dann wird's wieder einfacher:

$\begin{eqnarray*} J=\int \limits_0^4 ~ \int \limits_{0}^{4-x} \!\underbrace {( x^{2} + y^{2} + 1)}_\mathrm{obere Funktion}-\underbrace {(1)}_\mathrm{untere F} \, dy\,dx \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 16:47

niko_graz

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Wieso z(x,y)=1+x^2+y^2>1 und nicht z(x,y)=1+x^2+y^2>=1??

16.06.2011, 18:30

Dopap

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sorry unwesentlicher Tippfehler, evtl. auch das mal selbst erkennen.

Ansonsten, alles in Ordnung?

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