Exisitenz einer Funktion

15.06.2011, 21:05

DotW

Exisitenz einer Funktion

Meine Frage:
Gibt es eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt?

Meine Ideen:
Vielleicht irgendwas in Richtung eines Polynoms mit geradem Exponenten?

15.06.2011, 22:26

Dopap

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\,\, ,\mathbb D = \mathbb R\backslash \{0\}=\mathbb R^* \end{eqnarray*}$

wäre nett, aber ist die Funktion stetig?

15.06.2011, 22:52

Hitschler

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Die ist stetig, aber er will von R nach R Augenzwinkern

15.06.2011, 23:34

Hitschler

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btw die gibt's nicht die funktion

15.06.2011, 23:40

Anatol

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RE: Exisitenz einer Funktion
$\begin{eqnarray*} x = \pm \pi \end{eqnarray*}$ verwirrt

16.06.2011, 02:55

Dopap

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@Hitschler
die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ bedeutet nicht, dass Definitionsmenge und Wertemenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein müssen.
wenn das geklärt ist, und mein f(x)=x^2 mit x<>0 stetig ist, wäre ja alles in Ordnung.

@Anatol
$\begin{eqnarray*} x=\pm \pi \end{eqnarray*}$ ist so keine Funktion.

$\begin{eqnarray*} f=\{(\pi,0), (-\pi,0)\} \end{eqnarray*}$ wäre passend, aber leider nicht stetig.

16.06.2011, 06:52

Airblader

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Zitat:

Original von Dopap
die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ bedeutet nicht, dass Definitionsmenge und Wertemenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein müssen.

Diese Schreibweise bedeutet i. A. aber sehr wohl, dass es die Definitionsmenge sein muss. Von der Wertemenge verlangt man nur eine Teilmengenbeziehung. Deine Funktion ist in dem Sinne eben keine Funktion von IR nach IR, denn sie bildet nicht von IR ab.

Also zur Klarstellung: $\begin{eqnarray*} g\colon A \to B \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} A = D(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \supset W(f) \end{eqnarray*}$ ist.

air

16.06.2011, 10:11

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Dopap
@Anatol
$\begin{eqnarray*} f=\{(\pi,0), (-\pi,0)\} \end{eqnarray*}$ wäre passend, aber leider nicht stetig.

Wenn das den Graph von f darstellen soll, so ist f stetig, aber Definitions- und Wertebereich passen nicht.

Wie Hitschler schon sagte, gibt es eine solche Funktion nicht. Kurzer Beweisansatz: Es gibt $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \end{eqnarray*}$ , was passiert nun im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ (Maximum/Minimum) und wieso kann dieses nicht genau zweimal angenommen werden?

16.06.2011, 17:53

Hitschler

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klar kann das maximum auf einem Intervall genau zweimal angenommen werden^^

16.06.2011, 18:14

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Hitschler
klar kann das maximum auf einem Intervall genau zweimal angenommen werden^^

Ja, allgemein schon. Das ist ja auch kein kompletter Beweis, sondern ein Ansatz, denn unter den Vorraussetzungen kann man zeigen, dass das Maximum oder das Minimum nur einmal angenommen wird.

16.06.2011, 18:42

Dopap

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Zitat:

Original von Airblader
...
Also zur Klarstellung: $\begin{eqnarray*} g\colon A \to B \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} A = D(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \supset W(f) \end{eqnarray*}$ ist.

Danke für die präzise Erklärung.
------------------------------------------
edit: demnach erfüllt y=x^2 , x aus IR nicht das geforderte Kriterium.

16.06.2011, 21:13

mathinitus

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RE: Exisitenz einer Funktion
Gibt es denn eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt?

18.06.2011, 01:25

Gastmathematiker

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RE: Exisitenz einer Funktion

Zitat:

Original von mathinitus
Gibt es denn eine stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die jeden ihrer Funktionswerte genau zweimal annimmt?

Interessante Frage, muss ich mal drüber nachdenken.

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