gleicher flächeninhalt einer funktion durch c abgetrennt

13.12.2006, 20:45

ReiAusDerTube

gleicher flächeninhalt einer funktion durch c abgetrennt

Hallo!
Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen. Ich schreib die Aufgabenstellung erstmal komplett auf:

Die Funktion f ist auf dem Intervall [a;b] definiert und es ist f (a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ f(b). Wenn $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit f(a) < c < f(b) oder f(b) < c < f(a) ist, begrenzen der Graph von f sowie die Geraden mit den Gleichungen x=a, x=b und y=c eine Fläche, die aus zwei Teilen besteht.
Bestimmen Sie c so, dass die beiden Teilfächen denselben Inhalt haben.

$\begin{eqnarray*} f(x) = 4x - x² ; a=0; b=2 \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~(4x-x^2)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [2x^2 - \frac{1}{3} x^3 + c ]_{0}^2 \end{eqnarray*}$

dann hab ich eingesetzt und gleich 0 gesetzt:

$\begin{eqnarray*} = - (2\times 2^2 + \frac{1}{3} \times 2^3 + c) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = - 5 \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Das kann aber nicht stimmen!! Ich habe das ganze nämlich gezeichnet und gemerkt das c jenseits von f(x) liegt. Ehrlich gesagt habe ich auch die Aufgabenstellung nicht richtig verstanden und deshalb vermutlich irgendetwas falsch gemacht... Ich freu mich, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!! smile

13.12.2006, 20:48

Calvin

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RE: gleicher flächeninhalt einer funktion durch c abgetrennt

Zitat:

Original von ReiAusDerTube
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~(4x-x^2)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = [2x^2 - \frac{1}{3} x^3 + c ]_{0}^2 \end{eqnarray*}$

Dein c aus der Aufgabe hat nichts mit der Integrationskonstante c zu tun, die du hier im Integral hinzugefügt hast.

Rechne mal zunächst die Fläche aus, die du im Interval [0;2] bekommst. Dann integriere nochmal von 0 bis c. Wie groß muss die Fläche dann sein?

13.12.2006, 20:58

ReiAusDerTube

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achsooo!! Da bin ich wohl ziemlich durcheinander gekommen!!
Ich hab noch mal integriert:

$\begin{eqnarray*} [2x^2 - \frac{1}{3} x^3 ]_{0}^2 = - 8 + \frac{8}{3} = 5 \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Kann ich denn einfach das minus vor 5 1/3 weglassen, weil der Inhalt ja nicht negativ sein kann? ODER müssen da etwa irgendwo Betragsstriche drum?? Wenn ja wo genau?

Die Fläche von 0 bis c müsste dann einfach die Hälfte sein oder nicht?

13.12.2006, 21:07

Calvin

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RE: gleicher flächeninhalt einer funktion durch c abgetrennt
Du musst zuerst die obere, dann die untere Grenze einsetzen. Dann wird das Vorzeichen auch richtig. Dass das Vorzeichen positiv sein muss, siehst du daran, dass die Kurve im Intervall [0;2] oberhalb der x-Achse verläuft

Zitat:

Die Fläche von 0 bis c müsste dann einfach die Hälfte sein oder nicht?

13.12.2006, 21:13

ReiAusDerTube

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alles klar dann kommt $\begin{eqnarray*} 5 \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ raus. Passt auch mit der Zeichnung smile

Danke!! Ich dachte irgendwie man müsste erst die untere Grenze einsetzen und dann die obere davon abziehen...

13.12.2006, 21:22

ReiAusDerTube

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öhh ich habe gerade von c bis 0 integriert und das funktioniert ja gar nicht...

$\begin{eqnarray*} [2x^2 - \frac{1}{3} x^3 ]_{0}^c = 2c^2 - \frac{1}{3} c^3 \end{eqnarray*}$

Dann mit der Hälfte vom Flächeninhalt gleichgesetzt:
$\begin{eqnarray*} 2 \frac{2}{3} = 2 c^2 - \frac{1}{3} c^3 \end{eqnarray*}$

mit 3 multipliziert:

$\begin{eqnarray*} 8 = 6 c ^2 - 3 c^3 \end{eqnarray*}$

-> und jetzt keine Ahnung wie ich das nach c auflösen kann... verwirrt

13.12.2006, 21:33

Seb17

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Naja, wenn ich deine Gleichung mit drei multipliziere, steht da:

$\begin{eqnarray*} 8 = 6c^2-c^3 \end{eqnarray*}$

LG Seb17

13.12.2006, 21:35

Calvin

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Hm, mal abgesehen davon, dass du einen kleinen Fehler hast (beim Multiplizieren mit 3 ergibt sich $\begin{eqnarray*} 1\cdot c^3 \end{eqnarray*}$ ), habe ich das nicht bedacht. Kommt davon, wenn man Hinweise gibt, ohne die Aufgabe vorher selbst durchzurechnen Hammer

Auf die Schnelle habe ich aber außer einem Näherungsverfahren keine Lösung da. Zumal die Lösung auch nicht zu erraten ist.

Sieht jemand einen Rechenfehler? Ich selbst werde jetzt ins Bett gehen. Sicher hilft jemand anderes weiter smile

13.12.2006, 22:00

cleverclogs

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Vielleicht bin ich blöd, aber ist nicht y = c?

Seid ihr nicht davon ausgegangen, dass x = c ist?

13.12.2006, 22:06

ReiAusDerTube

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oh jaa natürlich.... es wird aber auch schon spät... da lässt meine Konzentration ziemlich nach. Wo muss ich das denn jetzt einsetzen? In $\begin{eqnarray*} f(x) = 4x - x^{2} \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2006, 22:14

cleverclogs

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Du hast eine Waagerechte y = c und deine Ursprunglichen Funktion. Du weißt wie groß die Fläche ist, davon die Hälfte nehmen und gleich den neuen Fläche gleichsetzen.

Die neue Fläche ist durch x = 0, x = 2, y = c und f(x) begrenzt!

Viel Erfolg - ich bin auch müde!! Big Laugh

13.12.2006, 22:35

Dorika

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das ist ja mal gemein! Big Laugh

13.12.2006, 22:40

ReiAusDerTube

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Ich habe mir deinen Tipp zu Herzen genommen und werde noch ne nacht darüber schlafen, bestimmt komm ich morgen drauf Augenzwinkern

Danke für deine Hilfe!

13.12.2006, 22:45

cleverclogs

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Du weißt, dass eine Beziehung gibt zwischen eine Parabel und eine Rechteck?

In diesem Fall hast Du eine Rechteck 2LE x 2LE für dein Ürsprunglichen f(x), und wie geht es weiter??

14.12.2006, 13:14

Calvin

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Zitat:

Original von cleverclogs
Vielleicht bin ich blöd, aber ist nicht y = c?

Seid ihr nicht davon ausgegangen, dass x = c ist?

Danke cleverclogs. Da war ich wohl doch schon zu müde gestern geschockt

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