Anstoß bei der Integration d. Rekursion

15.06.2011, 19:41

MikeMoeller

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Anstoß bei der Integration d. Rekursion

hey,

ich habe folgendes integral gegeben

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (sinx)^n \, dx \end{eqnarray*}$

ich will dieses Integral durch patielle integration lösen

u = (sinx)^n

u`= n*(sinx)^n-1 * cosx

v= x

´v= 1

$\begin{eqnarray*} x(sinx)^n - n \int_a^b \! x(sinx)^{n-1} cosx \, dx \end{eqnarray*}$

ist das bis jetzt erstmal richtig ?

danke!

15.06.2011, 20:42

MatheMathosi

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Also die partielle Integration ist korrekt, wobei du ja jetzt ein noch schwierigeres Integral hast. Ich würde dir eher Substitution empfehlen.

15.06.2011, 20:59

Mathewolf

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Nein, das ist leider nicht richtig. Wo nimmst du den faktor x her???

Der richtige Ansatz ist

$\begin{eqnarray*} \int_a^b\sin^nx\,dx = -\left[\frac{\sin^{n-1}x\cos x}n\right]_a^b + \frac{n-1}n\int_a^b\sin^{n-2}x\,dx \end{eqnarray*}$

15.06.2011, 21:22

MatheMathosi

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Doch das ist richtig:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int\limits_{a}^{b} 1 \cdot (sin(x))^{n} dx<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{sin^{n-1}(x) \cdot cos(x)}{n} \end{eqnarray*}$ ableitest kommt bestimmt nicht $\begin{eqnarray*} sin^n(x) \end{eqnarray*}$ heraus

16.06.2011, 06:16

René Gruber

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Doch das ist richtig:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int\limits_{a}^{b} 1 \cdot (sin(x))^{n} dx<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Es ist zwar richtig, aber nicht zielführend hinsichtlich der beabsichtigten Integration. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von MatheMathosi
Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{sin^{n-1}(x) \cdot cos(x)}{n} \end{eqnarray*}$ ableitest kommt bestimmt nicht $\begin{eqnarray*} sin^n(x) \end{eqnarray*}$ heraus

Hat Mathewolf auch gar nicht behauptet. Was er hingeschrieben hat, ist die aus der partiellen Integration letztlich entstehende Rekursionsgleichung. Der fehlende Zwischenschritt lautet aufgeschrieben

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \sin^n(x) ~ \dd x = -\left[ \sin^{n-1}(x)\cos(x) \right]_a^b + (n-1) \int_a^b \sin^{n-2}(x) \underbrace{\cos^2(x)}_{=1-\sin^2(x)} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

17.06.2011, 07:35

MikeMoeller

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also bin ich mit meinem Ausdruck nach der ersten partiellen integration richtig ja ?

Ihr habt jetzt alle noch ein zweites mal partiell integriert oder ?

mein problem ist ja , ihr habt über den faktor x gesprochen, der taucht ja auf weil ich für ´v die 1 setzte und die integration von 1 ist x.

allerdings habe ich im integral nachdem ich dann u*v - integral ú *v aufgeschrieben habe....drei verschiedene sachen hinter dem integral zu stehen das x ein sin und ein cos.....damit wurde ich noch nie konfrontiert udn weiß nicht wie ich weiter machen soll.....

geschweige dem bisher ist alles richtig !

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17.06.2011, 08:13

René Gruber

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Anscheinend muss ich mich (wie so oft) wiederholen:

Zitat:

Original von René Gruber
Es ist zwar richtig, aber nicht zielführend hinsichtlich der beabsichtigten Integration.

Nimm besser den Weg von Mathewolf, wenn du wirklich zum Ziel kommen willst. Bei dem wird folgendermaßen aufgeteilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \sin^n(x) ~ \dd x = \int_a^b \underbrace{\sin^{n-1}(x)}_{=:u} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{=:v'} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

also partielle Integration mit $\begin{eqnarray*} u=\sin^{n-1}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=\sin(x) \end{eqnarray*}$ . Das hat $\begin{eqnarray*} u'=(n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v=-\cos(x) \end{eqnarray*}$ zur Folge.

17.06.2011, 09:23

MikeMoeller

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wo ist den das x hin ?

also das scheint ja ein komplett anderer ansatz zu sein

der setzt vorraus das ich schon sin n-2 oder so einsetzte...

darauf komme ich als anfänger doch garnicht geschockt

geschockt

17.06.2011, 10:01

René Gruber

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Zitat:

Original von MikeMoeller
wo ist den das x hin ?

Eine wirklich überflüssige Frage angesichts meiner ausführlichen Erläuterung dieses zweiten Ansatzes.

17.06.2011, 11:20

MikeMoeller

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den weg von mathewolf versteh ich aber nicht, da fehlt mir der anhaltspunkt

um szbs sinx^n-1 zu bekommen muss man doch erstmal partiell ableiten verwirrt

verwirrt

17.06.2011, 11:30

Mathewolf

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Zitat:

Original von René Gruber
Anscheinend muss ich mich (wie so oft) wiederholen:

Zitat:

Original von René Gruber
Es ist zwar richtig, aber nicht zielführend hinsichtlich der beabsichtigten Integration.

Nimm besser den Weg von Mathewolf, wenn du wirklich zum Ziel kommen willst. Bei dem wird folgendermaßen aufgeteilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \sin^n(x) ~ \dd x = \int_a^b \underbrace{\sin^{n-1}(x)}_{=:u} \cdot \underbrace{\sin(x)}_{=:v'} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

also partielle Integration mit $\begin{eqnarray*} u=\sin^{n-1}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'=\sin(x) \end{eqnarray*}$ . Das hat $\begin{eqnarray*} u'=(n-1)\sin^{n-2}(x)\cos(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} v=-\cos(x) \end{eqnarray*}$ zur Folge.

Den hat dir René Gruber hier schon gegeben.

17.06.2011, 12:18

MikeMoeller

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genau aber da verstehe ich nicht wie ich für u schon sinx^(n-1) einsetzten kann

da hast du doch schon einen schritt vorweg genommen oder so ?

Und du hast damit ja 2 mal den selben ausdruck partiell integriert.

Ich dachte ich muss mir immer ne 1 dazudenken

17.06.2011, 12:33

René Gruber

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Es sollte dir nicht so völlig neu sein, dass

$\begin{eqnarray*} t^n = t^{n-1}\cdot t \end{eqnarray*}$

gilt, oder? Nichts weiter wird hier im Ansatz benutzt, nämlich für den Wert $\begin{eqnarray*} t=\sin(x) \end{eqnarray*}$ .

17.06.2011, 13:04

MikeMoeller

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ach das macht ihr

t^2 = t * t

okay, aber wie seit ihr nun darauf gekommen das das zum gewünschten ergebniss führt ?

17.06.2011, 14:27

René Gruber

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Wie heißt es so schön: Versuch macht klug.

Jedenfalls führt diese Zerlegung $\begin{eqnarray*} \sin^{n-1}(x)\cdot \sin(x) \end{eqnarray*}$ zu der obigen Rekursion, während $\begin{eqnarray*} 1 \cdot \sin^n(x) \end{eqnarray*}$ zu einem komplizierter strukturierten Integral führt. Kann passieren, es gibt bei der partiellen Integration keine Erfolgsgarantie, dass das enstehende Integral rechts einfacher gebaut ist als das, was man berechnen will. Da muss man eben ein bisschen probieren. Mit etwas oder auch etwas mehr Erfahrung hat man bei diesem Probieren dann deutlich weniger Fehlversuche, ganz verschwinden werden sie nie. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.06.2011, 14:59

MikeMoeller

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okay danke für die geduld :-) ich versuche mich gerad eerst reinzufuchsen werden wohl noch ein paar themen werden

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