Berechnung am regelmäßigen Fünfeck

15.06.2011, 22:20	blauer91	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung am regelmäßigen Fünfeck Mahlzeit. Hier mal die Aufgabenstellung: "Berechne die Seitenlänge a, den Umfang u und den Flächeninhalt A eines regelmäßigen Fünfecks, das einem Kreis mit dem Radius r = 10cm eingeschrieben ist" a = Seitenlänge r1= Inkreisradius (Höhe Teildreieck) r2= Radius des Kreises (10cm) Als erstes hab ich das Fünfeck in 5 Teildreiecken aufgeteilt, sprich Linien vom Mittelpunkt zu den Ecken (als Skizze). Die Grundlinie des Dreiecks ist a, die 'Schenkel' (sind das Schenkel?) sind r2. 1. Schritt: Alpha ausrechnen (Winkel gegenüber der Grundlinie, also in der Mitte) n = Anzahl Ecken $\begin{eqnarray} \alpha = \frac {360°}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = \frac {360}{5} = 72 \end{eqnarray}$ 2. Schritt Höhe a eingezeichnet, somit entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, fehlende Seiten also leicht auszurechnen (Trigonometrie) a2 = die halbe Seitenlänge a $\begin{eqnarray} a2 = \sin(\alpha) \cdot r2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a2 = \sin(31) \cdot 10 = 5,15cm \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} a = 2a2 = 10,30cm \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta = 51° \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} 180-90-31 = 59 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r1 = \sin(\beta) \cdot 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r1 = \sin(59) \cdot 10 = 8,57cm \end{eqnarray}$ 3. Schritt Umfang ausrechnen $\begin{eqnarray} u = a \cdot n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u = 10,30 \cdot 5 = 51,50 \end{eqnarray}$ 4. Schritt Fläche berechnen c = Anzahl der Teildreiecke $\begin{eqnarray} A = \left (\frac {a \cdot r1} {2} \right ) \cdot c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = \left (\frac {10,30 \cdot 8,57}{2} \right ) \cdot 5 = 220,65 cm^{2} \end{eqnarray}$ Zusammengefasst: a = 10,30cm r1 = 8,57cm r2 = 10cm U = 51,50 cm A = 220,65 cm^{2} Ist das so richtig? Müsste das bis Montag wissen, da wir unseren Mathelehrer nicht mehr haben und wir Dienstag die Abschlussprüfung schreiben... Edit (Gualtiero): latex-Code korrigiert.
15.06.2011, 22:51	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vom Prinzip sieht alles ganz gut aus, Du hast allerdings zu Anfang einen Rechenfehler gemacht. 72:2 = 36 Ab: $\begin{eqnarray} a2 = \sin(31°) \cdot 10 = 5,15cm \end{eqnarray}$ muß also alles leider verbessert werden, bitte nicht beta vergessen. Die neue Berechnung sollte für Dich ein Klacks sein. Und auf Einheiten, Gradzeichen und Rundungszeichen achten!
15.06.2011, 23:00	blauer91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey opi... danke! Stimmt, hab da versehentlich mit 62 gerechnet. Werd mich gleich dran machen und den Rest ausrechnen und anschließend, zur Sicherheit, die Ergebnisse posten (nur die, da ich derzeit nur das Handy zur Verfügung habe und für den Beitrag oben schon ne Stunde brauchte ) bis gleich!
15.06.2011, 23:14	blauer91	Auf diesen Beitrag antworten »
So, da bin ich wieder mit den Lösungen $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ = 36° $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ = 54° a = ~ 11,76cm r1= ~ 8,09cm r2 = 10cm U = 58,8cm A = ~ 237,85cm^2 Das müssten die richtigen Lösungen sein..
15.06.2011, 23:19	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind sie auch! (Der Umfang ist aber auch gerundet.)
15.06.2011, 23:31	blauer91	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, Opi, auch der Umfang war gerundet, hatte ich vergessen, hab da bereits mit dem gerundeten Wert von r1 gerechnet Danke nochmal Gute Nacht wünsch ich dir P.s.: Hab mich direkt mal angemeldet, vllt kann ich ja auch mal jemandem helfen
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15.06.2011, 23:40	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann und viel Erfolg bei Deiner Prüfung!
15.06.2011, 23:44	blauer91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das Glück kann ich gebrauchen, schreib ich keine 3 werd ich nicht zur Ausbildung CTA mit Fachhochschulreife abgenommen.. & nochmals danke!

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