Periodische Folge in letzter Ziffer von Quadratzahlen

15.06.2011, 23:06

Pascal95

Periodische Folge in letzter Ziffer von Quadratzahlen

Hallo,

ich frage mich, wieso die Endziffern von Quadratzahlen sich periodisch wiederholen.

Ich habe dazu eine Liste hier angehangen.[attach]20132[/attach]

Ich möchte auch nicht unbedingt die ganze Lösung, sondern, wenn es geht, zunächst einen Tipp.

Mir ist auch klar, dass nur gewisse Endziffern erreicht werden können, die von der Endziffer der Zahl abhängt, dessen Quadrat berechnet wird.
So kann z.B. die Endziffer 2 nicht auftreten...

Danke sehr.

15.06.2011, 23:09

Equester

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Na schau dir mal die Periodenlänge an Augenzwinkern

15.06.2011, 23:10

Calvin

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Wenn du zwei vollkommen beliebige Zahlen $\begin{eqnarray*} ?????a \end{eqnarray*}$ (also letzte Ziffer ist ein a) und $\begin{eqnarray*} ?????b \end{eqnarray*}$ (also letzte Ziffer ist ein b) nimmst und das Produkt bildest. Was komt dann als letzte Ziffer des Produkts raus?

Wenn du dir diese Frage beantworten kannst, dann weißt du auch, warum deine Folge periodisch ist.

15.06.2011, 23:12

Pascal95

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Die immer wieder auftretende Periode lautet 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1. Die Periodenlänge beträgt 10, danach kommen ja die selben Endziffern wieder. Ferner ist es mir auch klar, dass die Endziffer von (abcx)² gleich der von (pqrx)² ist. (a,b,c,p,q,r,x seien Ziffern).

Doch mich erstaunt die Symmetrie:
0, 1, 4, 9, 6,
5,
6, 9, 4, 1, 0

15.06.2011, 23:16

Pascal95

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Die letzte Ziffer von $\begin{eqnarray*} ????a \ \cdot\ ????b \end{eqnarray*}$ sollte m.E. die letzte Ziffer von $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ sein...

15.06.2011, 23:18

Equester

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Noch ein Beispiel zu oben. Kannst es ja in eine Formel fassen Augenzwinkern

53²=(50+3)(50+3)=50*50+50*3+50*3+3*3 -> Nur letzter Summand bringt einen Beitrag zur Endziffer.

Zur Symmetriefrage...Ich bin Physiker, aber trotzdem mein Versuch.
Die Zahlen 6-9 lassen sich auch als 10-4,10-3,10-2 und 10-1 darstellen.... Augenzwinkern

Also (10-4)^2 = 10²-10*2*4+4² -> Wieder trägt nur der letzte Summand bei.

15.06.2011, 23:23

Pascal95

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Aha,
nun sei $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb Z_{10}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} (10a+b)^2=(10a+b)(10a+b)=10a^2+20ab+b^2 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} 10a^2 \end{eqnarray*}$ hat Einerziffer gleich 0, $\begin{eqnarray*} 20ab \end{eqnarray*}$ ebenfalls.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \ b^2 \end{eqnarray*}$ trägt zur Endziffer bei. (nur!)

Interessante Überlegungen zur Symmetrie...

15.06.2011, 23:26

Equester

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Es gilt natürlich für $\begin{eqnarray*} 10^n \end{eqnarray*}$ . Das war ja nur ein kleines Beispiel von meiner Seite. Damit du
das in Formeln packen kannst Augenzwinkern

Zur Symmetrieüberlegung. Die 10 hab ich rausgelassen. Die passt selbstverständlich auch rein! Augenzwinkern

15.06.2011, 23:34

Pascal95

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Hmm, wie könnte man dann 1,2,3,4 in einer ähnlichen Weise darstellen?

5 ist sozusagen in der Mitte...

6,7,8,9 (Zahlen von 6-9)
4,3,2,1 (Zahlen von 1-4)
6,9,4,1 (Endziffer des Quadrates)

Deine Idee war wohl, auch wieder zu zeigen, dass bei der Darstellung 6=10-4; 7=10-3; 8=10-2; 9=10-1 auffällt, dass nur die Endziffer etwas an der Endziffer des Quadrates ausmacht.

6=10-4 ## 4
7=10-3 ## 3
8=10-2 ## 2
9=10-1 ## 1

Das sind ja die Zahlen, die beim Quadrieren "zusammengehören"

$\begin{eqnarray*} 6=10-4\ \Rightarrow\ 6^2=(10-4)^2=100-2\cdot 10\cdot4+4^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 4^2=16 \end{eqnarray*}$

So soll ich dann sukzessive vorgehen?

15.06.2011, 23:38

Equester

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Wie bzw. warum willst du 0,1,2,3, bzw 1,2,3,4 anders darstellen?
Wenn du sagst, dass du 6,7,8,9(,10) darstellen kannst wie 1,2,3,4 bzw. 4,3,2,1
dann hast du doch die Symmetrie schon dargelegt Augenzwinkern

Dass das der Fall ist, hast du in dem Beispiel veranschaulicht Freude

15.06.2011, 23:46

Pascal95

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Zitat:

Original von Equester
Wie bzw. warum willst du 0,1,2,3, bzw 1,2,3,4 anders darstellen?

Das war eher meine Idee am Anfang, ich habe die Antwort während dem Schreiben sozusagen entwickelt...

Dabei wurde mir klar, wie du es gemeint hast, dass sich 6,7,8,9(,10) in der Form $\begin{eqnarray*} (10-x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=(0,)1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

So kann man zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} x\ \text{und}\ 10-x \end{eqnarray*}$ "zusammengehören".

Die 5 könnte natürlich auch als 10-5 dargestellt werden.

Damit wäre das von meiner Seite aus geklärt, wichtig war dein Trick, dass man die entsprechenden Zahlen größer5 als 10-x darstellen kann und so zeigt, dass die Endziffer des Quadrats gleich der von x² ist:

$\begin{eqnarray*} (10-x)^2=10^2-10\cdot 2\cdot x+x^2 \end{eqnarray*}$ (Endziffer wird durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ bestimmt)

Danke dir smile

15.06.2011, 23:49

Equester

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Yup genau

Gerne und gute Nacht Wink

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