Zusammenhänge von Vektoren

16.06.2011, 00:02	p.paule	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhänge von Vektoren Hallo, bei meinem Problem wusste nicht genau was als Titel passen würde. Aber nun den, hier die Aufgabe: Gegeben: $\begin{eqnarray} \left\| \vec a \right\| = 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \vec b \right\| = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec a \cdot \vec b = 3/2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec c = 2 \cdot \vec a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec d = \vec a - 4 \cdot \vec b \end{eqnarray}$ Man muss den Winkel zwischen c und d bestimmen. Die allgemeine Formel lautet: $\begin{eqnarray} \vec c \cdot \vec d = \left\| \vec c \right\| \cdot \left\| \vec d \right\| \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ Mein erster Gedanke war c und d aus dem Gegeben zu multiplizieren: $\begin{eqnarray} \vec c \cdot \vec d = 2 \cdot \vec a \cdot (\vec a - 4 \cdot \vec b) = 2 \cdot \left\| \vec a \right\| - 8 \cdot \vec a \cdot \vec b = -6 \end{eqnarray}$ Nun fehlen noch die beiden Beträge. $\begin{eqnarray} \left\| \vec c \right\| = 2 \cdot \left\| \vec a \right\| = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \vec d \right\| = ? \end{eqnarray}$ Der Betrag von c habe ich, aber wie kommt man auf d? Da gab es doch einen Zusammenhang zwischen solchen Vektoren, oder irre ich mich hier? grüße
16.06.2011, 00:04	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
In welcher Dimension soll sich das abspielen? $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ?
16.06.2011, 00:12	p.paule	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wurde nicht angegeben, scheint also unbedeutend zu sein.
16.06.2011, 01:57	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, p.paule, irgendwie gehts nicht weiter und dann halt ins Matheboard stellen. Wird schon irgendjemand einen tollen Kniff wissen. Mathe hat mit Zähigkeit zu tun, selber zu denken und dranbleiben heist die Devise. ( Arbeitsstil ) ----------------------------------- So ungefähr geht der Gedankengang: Aus den Angaben zu den Vektoren a und b geht hervor, dass diese lin unabhängig sind, denn sonst wäre das Skalarprodukt =3. Vektoren c und d sind offensichtlich von a und b abhängig, woraus folgt, dass alles in einer "Ebene liegt" ( a und b sind Basisvektoren) [Es geht also nicht um $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 ~ \mathrm {oder}~ \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Die Dimension des Vektorraumes ist auf jeden Fall = 2] Aus den Angaben zu a und b folgt unschwer der Winkel alpha=60° zwischen a und b. Mittels einer Zeichnung von a, b und c und einer Parallelen zu b durch die "Spitze" von a und dem Abtrag von -4b auf Derselben gelangt man zur "Spitze" von d. Wegen Wechselwinkel ist der Winkel zwischen a und -4b = 60° Mittels Cosinussatz erhält man den Betrag von d , mittels Sinnussatz den gesuchten Winkel. ----------------------------------- Das ist reine Handarbeit. Etwas Elegantes ist mir nicht eingefallen.
18.06.2011, 22:32	p.paule	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab nun einen für mich einfacheren Lösungsweg. Meine anderen Rechungen waren nicht ganz richtig. Hier mal ausführlich: $\begin{eqnarray} \vec c \cdot \vec d = \left\| \vec c \right\| \cdot \left\| \vec d \right\| \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec c \cdot \vec d = 2 \cdot \vec a \cdot (\vec a - 4 \cdot \vec b) = 2 \cdot \left\| \vec a \right\|^2 - 8 \cdot \vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 9 - 8 \cdot \frac {3}{2} = 18 -12 = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \vec c \right\|^2 = \vec c \cdot \vec c = 2 \cdot \vec a \cdot 2 \cdot \vec a = 4 \cdot \left\| \vec a \right\|^2 = 4 \cdot 9 = 36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \vec c \right\| = \sqrt{36} = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \vec d \right\|^2 = \vec d \cdot \vec d = (\vec a - 4 \cdot \vec b) \cdot (\vec a - 4 \cdot \vec b) = \left\| \vec a \right\|^2 - 8 \cdot \vec a \cdot \vec b + 16 \cdot \left\| \vec b \right\|^2 = 9 - 8 \cdot \frac {3}{2} + 16 \cdot 1 = 13 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\| \vec d \right\| = \sqrt{13} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cos(\alpha) = \frac{\vec c \cdot \vec d } {\left\| \vec c \right\| \cdot \left\| \vec d \right\|} = \frac{6}{6 \cdot \sqrt {13}} = \frac{1}{\sqrt {13}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha = \arccos \frac{1} {\sqrt {13}} = 79,9° \end{eqnarray}$
18.06.2011, 23:58	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Betrag $\begin{eqnarray} \|\vec c\| \end{eqnarray}$ kann man leichter ausrechnen, nämlich als $\begin{eqnarray} 2 \cdot \|\vec a\| = 2 \cdot 3 = 6 \end{eqnarray}$ , ansonsten ist dein Ergebnis richtig. Super! mY+
Anzeige

19.06.2011, 00:02	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
na also, es geht doch! Und auch noch den eleganten Weg gefunden. Warum nicht gleich so?
19.06.2011, 00:03	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, dir ist dieser Weg ja auch nicht gleich eingefallen. mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »