Ordnung eines Elements

16.06.2011, 09:42	Math0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung eines Elements Heyho, wenn ich eine multiplikative endliche zyklische Gruppe G der Ordnung n habe mit g Erzeuger von G und a ein beliebiges Element von G. Gilt nun d \| n , also d teilt die Gruppenordnung, dann esxistiert ja eine Untergruppe mit Ordnung d, wobei <g^(n/d)> ein Erzeuger ist. Nun ist auch a^(n/d) Element dieser UG, warum aber? Habe es an Beispielen jetzt getestet, aber nach welchem Satz gilt dies?? Dankbar für jede Hilfe<!!!!
16.06.2011, 11:36	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
a^(n/d) hat eine Ordnung die d teilt, da die UGs eindeutig sind ist <a^(n/d)> Untergruppe von <g^(n/d)>
16.06.2011, 11:50	Math0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn jetzt z.B. n=8 und d=2, dann ist doch n/d=4, aber 4 teilt nicht 2
16.06.2011, 11:56	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen Gedankengang kann ich nicht nachvollziehen. Warum denkst du dass n/d irgendwas teilen muss?
16.06.2011, 12:08	Math0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, hatte grad ein Denkfehler, hab die Potenz von a mit der Ordnung gleichgesetzt... Ich verstehe aber trotzdem noch nicht so ganz, wenn ich z.B. einen diskreten Logarithmus der Form g^x=a berechnen möchte. In speziellen Verfahren benötigt man dazu Untergruppen, d.h. wenn ich ein d \| n finde mit n=d*k, dann gilt weiterhin die Gleichung (g^x)^k = a^k, d.h. der diskrete Logarithmus exiostiert auch in der UG der Ordnung d, weil diese UG zyklisch ist, (g^x)^k ein Erzeuger der Ordnung k ist und weil a^k element dieser UG ist. Du sagtest unten, dass a^k eine Ordnung hat, welche d teilt. Das will mir immernoch nicht ganz klar werden...
16.06.2011, 12:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (a^k)^d = a^{k\cdot d} = a^n = 1 \end{eqnarray}$
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16.06.2011, 12:29	Math0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber g ist doch der Erzeuger, für ihn gilt doch, dass g^n=1 Beispiel ich habe Z_37^* als multipl. zykl. Gruppe mit Ordnung n=36. g=2 ist Erzeuger und a=28 € G. 9 \| n => <2^9> erzeugt UG {1, 6, 36, 31} 28^9 mod 37 = 31, also Element der UG. Gibt es irgendwie einen Satz oder so, dass das Potenzieren zweier Gruppenelenemte mit derselben Potenz beider wieder in der selben UG liegen oder so?
16.06.2011, 14:13	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem Satz von Lagrange gelten für alle Elemente x aus der Gruppe x^n = 1. Ich habe dir doch schon in meinem ersten Post den Beweis geliefert warum das Element in der UG liegt. Mehr kann ich auch nicht machen...

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