Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? |
| 16.06.2011, 11:49 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Hallo ihr Lieben ! 
Ich muss nach den Pfingstferien in Mathe eine Gfs [Gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen] halten. Und zwar, wie man sich denken kann, über Halbwertszeiten. Ich bin in der 9. Klasse [Gymnasium] und die Sache ist die, dass ich das ganze Thema ausarbeiten muss & direkt haben wir es nie im Unterricht behandelt, nur in Physik einmal kurz. Dementsprechend habe ich viele Fragen^^' Zum Beispiel verstehe ich nicht ganz, ob's da einen Unterschied zwischen Halbwertszeiten und exponentieller Abnahme gibt. Das ist doch ein und das selbe, oder nicht? In Wikipedia unter Halbwertszeit findet man unter dem Punkt 'Mathematische Definition' eine "Monster-Formel", wie ich finde. Kann die mir bitte jmd vereinfacht erklären? >.< Danke im Vorraus! Meine Ideen: Ich habe etwas weiter gestöbert und eine Formel gefunden, allerdings weiß ich nicht, ob ich darauf bauen kann oder ob diese Formel meinem Lehrer reicht..^^ ---> Die Menge des noch nicht zerfallenen Materials bildet eine sogenannte geometrische Folge. Wenn das Material zum Startzeitpunkt m(0) ist, und h die Halbwertszeit, dann gilt: m(0) = 2*m(h) = 4*m(2h) = 8*m(3h) = 16*m(4h)... D.h. wir können schreiben: m(0) = 2^n * m(n*h) Oder umgekehrt: Nachdem n-mal die Halbwertszeit h vorbei ist, ist noch ein 2^n-stel der Ausgangsmenge m(0) vorhanden. Das kann man auch schreiben als: m(n*h) = m(0)*2^(-n) Wenn wir jetzt beliebige Zeiten zulassen und nicht nur Vielfache von h, dann erhalten wir: m(t) = m(0)*2^(-t/h) Und damit haben wir die Formel für den radioaktiven Zerfall mit h als Halbwertszeit und m(0) als Ausgangsmasse. Quelle: http://www.cosmiq.de/qa/show/719444/Koennte-jemand-mir-die-Formel-fuer-die-Halbwertszeit-vereinfacht-erklaeren/ |
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| 16.06.2011, 17:26 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel?
Nein. Exponentielle Abnahme kann mit der Halbwertszeit beschrieben werden, so wie z. B. eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit beschrieben werden kann, aber nicht ein und dasselbe ist.
Hier wird allgemein in eine Formel gegossen, wie man nicht nur Halb-, sondern auch Drittel-, Viertel- bzw. eben -wertszeiten berechnet. Das dürfte für Deine Zwecke etwas zu weit gehen. Nach der Halbwertszeit ist einfach nur noch die Hälfte da, das war's schon. Viele Grüße Steffen |
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| 17.06.2011, 11:28 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Vielen Dank für Ihre Hilfe 
Aber was ist mit der Formel bei 'Meine Ideen'? Kann ich die benutzen? |
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| 17.06.2011, 11:38 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel?
Bitte sehr. Wir duzen uns hier übrigens alle.
Wenn Du willst, natürlich. Aber auch die sagt nicht anderes als "nach der Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte übrig". Ich hab noch nie eine GfS gehalten, aber wenn Du etwas tiefer einsteigen willst, stell ein paar exponentielle Abnahmen mit Daten vor (radioaktiver Zerfall, Bevölkerungsschwund in Deutschland, was weiß ich) und rechne dann die zugehörigen Halbwertszeiten vor. Aber viel mehr kannst Du aus dem Thema nicht rausholen, fürchte ich. Viele Grüße Steffen |
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| 17.06.2011, 11:48 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Okay, danke DU
Ja, mir ist auch schon aufgefallen, dass es schwer werden wird aus dem Thema so viel wie möglich raus zu holen. So wie du vorgeschlagen hast, habe ich auch vor anzufangen, vllt. noch zuallererst erklären was es mit den Halbwertszeiten auf sich hat & wie man rechnet. Mal schaun^^ |
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| 17.06.2011, 12:56 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Noch eine Frage
Ich würde zuerst, wie vorgeschlagen, die Halbwertszeiten zur Bevölkerungsabnahme in Deutschland vor rechnen. Kann ich dazu diese Grafik hier gut benutzen? Ich dachte mir, dass ich danach die Altersbestimmung für Ötzi mit der C14-Methode berechnen könnte. Und da eine GFS höchstens bis zu 15 min dauern sollte, denke ich schon, dass das reicht, oder? |
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| 17.06.2011, 13:05 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel?
Ja, die ist nicht schlecht. Gibt auch gleich vier Rechenbeispiele.
Ja, und die Beispiele sind auch interessant. Viel Erfolg! Steffen |
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| 17.06.2011, 15:23 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Vielen Dank für deine Hilfe. Ich bin noch etwas unsicher, was das Ausrechnen der Halbwertszeiten betrifft. Mal eine Aufgabe aus unserem Schulbuch: Der radioaktive Zerfall eines Stoffes ist ein exponentielles Wachstum (exponentielle Abnahme). Für die Menge des Stoffes gilt somit: B(n) = B(0) x k^n a) Bestimme den Wachstumsfaktor k für den Zerfall von Cäsium-137 (Halbwertszeit: 30,17 Jahre), wenn für n die Zeitschritte in Jahren angegeben werden. Ist ja eig. ganz einfach: k^30= 0,5 k = 0,5^(1/30) k = 0,977 d.h.: B(n) = B(0) x 0,977^n Aber wenn es jz heißt: Wann werden nur noch 5% des in Tschernobyl freigesetzten Cäsiums in der Umwelt vorhanden sein? Kann ich da dann rechnen: n = log(0,05)/log(0,977) n = 128,75 Also in ca. 130 Jahren werden nur noch 5% Cäsium vorhanden sein. Stimmt das? Und wie berechne ich sowas [mein Hauptproblem in der ganzen Geschichte]: Im Jahr 1991 wurde in den Ötztaler Alpen die Gletschermumie "Ötzi" gefunden. Die Mumie enthielt nur noch ca. 53% des Kohlenstoffs C-14 (Halbwertszeit: 5730 Jahre), der in lebendem Gewebe enthalten ist. Vor wie vielen Jahren hat "Ötzi" etwa gelebt? |
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| 17.06.2011, 15:32 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel?
Da nimmt man einen Taschenrechner und macht die Gegenprobe: Paßt.
Na, genauso wie oben. Statt 0,977 und 0,05 halt andere Zahlen. Viele Grüße Steffen |
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| 17.06.2011, 15:47 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Danke, aber die Sache ist die, ich bin vorher bereits auf dieses Ergebnis gekommen: k^5730 = 0,5 k = 0,5^(1/5730) k = 0,9998 heißt: n = log(0,53)/log(0,9998) n = 3174,07 Aber der Ötzi ist seit etwa 5200 Jahren tot. Also kann da ja was nicht stimmen. |
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| 17.06.2011, 15:56 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel?
Da schneidest Du aber ganz schön brutal ab.
Das ist nur die Rache Deines Taschenrechners dafür. Nimm mal den exakten Wert von k. So ein Erfahrung ist als Randbemerkung in Deinem Vortrag vielleicht auch ganz brauchbar. Viele Grüße Steffen |
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| 17.06.2011, 16:00 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Dankeeeeeee !
Jetzt ergibt alles plötzlich Sinn (GTR meint jz 5248,310808 also exakt 5248 Jahre!). Das sollte ich mir auf jeden Fall merken, nochmals vielen Dank! GLG |
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| 17.06.2011, 16:30 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Noch eine Sache (ich weiß, ich nerve heute schon oft 
)Hab mal schnell eine Definition zsm gereimt: >>Nicht nur die Zunahme, sondern auch die Abnahme einer Größe kann auf exponentielle Weise geschehen [Wir hatten im Unterricht bis jz exponentielle Zunahme]. Betrachten wir ein radioaktives Präparat, d.h. einen Stoff, in dem eine gewisse Anzahl "zerfallsfähiger" Atomkerne vorhanden sind. Jeder dieser Kerne wird irgendwann "zerfallen", d.h. ein Elementarteilchen (radioaktive Strahlung) aussenden und sich dabei in einen Atomkern nicht-aktiven Typs umwandeln. Je mehr zerfallsfähige Kerne vorhanden sind, umso mehr Strahlung wird emittiert/ausgesandt. Da die zerfallsfähigen Kerne nach und nach "verbraucht" werden, wird die Strahlung im Laufe der Zeit abklingen. Die von unserem Präparat ausgehende radioaktive Strahlung sei durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert: 1. In gleich langen Zeitintervallen verkleinert sich ihre Intensität um den gleichen Faktor. 2. Zu Beginn beträgt sie 1000 (Gesamt) 3. Während einer bestimmten Periode halbiert sich ihr Wert. Einen Prozess dieses Typs nennen wir exponentiellen Zerfall (Abfall), exponentielle Abnahme oder exponentielles Abklingen. Jene Zeitdauer, während der die beschriebene Größe auf die Hälfte absinkt heißt Halbwertszeit (nach zwei Halbwertszeiten verbleibt 1/4, nach 3 Halbwertszeiten 1/8, dann 1/16, 1/32, 1/64 und so fort). Mit der wir uns nun beschäftigen werden...< Klar könnte ich auch einfach sagen 'Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich ein exponentiell mit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat.' Aber so kommt es schlauer herüber 
und hat auch mehr Bezug auf den Unterrichtsstoff.Ist die Definition richtig? 
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| 17.06.2011, 16:48 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel?
So wie's da steht, muß eine exponentielle Abnahme zu Beginn immer den Wert 1000 haben, was natürlich nicht der Fall ist. (2) solltest Du also streichen. (3) wiederum folgt aus (1) und umgekehrt. Somit wäre es besser, Du nennst nur (1) als einzige Eigenschaft, leitest daraus (3) ab und redest anschließend über die Halbwertszeit-Beispiele. Viele Grüße Steffen |
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| 18.06.2011, 11:23 | NBA123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Halbwertszeit = exponentielle Abnahme? Formel? Dankeschön für deine Hilfe
Ich habe noch eine Frage bezüglich der Grafik oben: Ich verstehe nicht ganz wie ich die Halbwertszeiten von Modell A,B,C und K berechnen soll. Klar, nach einer Halbwertszeit sind von den 80 Mio Einwohner 40 Mio übrig, aber WANN wird das sein und wie kann ich das für die verschiedenen Modelle berechnen? |
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