Kann eine Funktion (total) differenzierbar sein wenn sie nicht stetig ist?

16.06.2011, 12:13	Martin L	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann eine Funktion (total) differenzierbar sein wenn sie nicht stetig ist? Hallo, ich habe eine etwas verwirrende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} y - 1 = (x-q)^2 > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sonst. a) zeigen sie, dass alle Richtungsableitungen von f in (1,1) existieren. b) zeigen Sie, dass f in (1,1) nicht stetig ist. c) ist f differenzierbar in (1,1) Also Aufgabenteil a) kriege ich denke ich hin. Aufgabenteil b) auch. Aber aus dem eindimensionalen Raum kenne ich die Regel, dass funktionen nur differenzierbar sind wenn sie auch stetig sind in dem entsprechenden Punkt. Ist das in R^n nicht so? Ansonsten erübrigt sich doch Aufgabenteil c eigentlich oder? Wäre nett, wenn ihr das kurz aufklären könntet, damit ich Sicherheit hab oder auch nicht. Gruß Martin
16.06.2011, 23:53	Morty1982	Auf diesen Beitrag antworten »
push
17.06.2011, 00:11	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ganz allgemein: Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^m \to \mathbb R^n \end{eqnarray}$ differenzierbar. Nach Definition gilt dann $\begin{eqnarray} \\| f(x) - f(y) - df(x) \cdot (x-y)\\| = o(\\|x-y\\|) \qquad (y \to x) \end{eqnarray}$ Folglich: $\begin{eqnarray} \\| f(x) - f(y) \\| \le \\| f(x) - f(y) -df(x)\cdot (x-y) \\| + \\| df(x) \cdot (x-y) \\| \ldots \end{eqnarray}$ Gruss

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