Beweis orthogonales Komplement

16.06.2011, 13:45	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis orthogonales Komplement Meine Frage: hey! in meinem mathebuch stehen nach der definition des orthogonalen komplements seine eigenschaften mit beweisen. Aber bei der eigenschaft $\begin{eqnarray} (U^\perp)^\perp=U \end{eqnarray}$ steht bei Beweis: trivial Meine Ideen: hab jetz mal versucht den beweis selber zu machen, aber ich kriegs nit hin!!! kann mir jemand ein denkanstoß geben? =) lg fleurita
16.06.2011, 13:49	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib mal genau auf was $\begin{eqnarray} (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ ist .
16.06.2011, 13:55	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
also es ist ja eig logisch, dass $\begin{eqnarray} (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist. Weil $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ schneiden sich ja nur im ursprung. Und das $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ senkrecht muss dann ja wieder $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ sein.... in der einführung vom kapitel steht, dass im folgenden V immer ein endlich-dimensionaler unitärer oder euklidischer vektorraum ist.
16.06.2011, 14:03	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ sind ja alle v's aus V, die orthogonal zu jedem u aus U sind. Dann sind $\begin{eqnarray} (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ ja alle v's aus V, die orthogonal zu jedem v aus $\begin{eqnarray} U^\perp \end{eqnarray}$ sind....
16.06.2011, 14:05	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, offensichtlich gilt für alle $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \langle u, u_p \rangle = 0 ~ \forall u_p \in U^\perp \end{eqnarray}$ Damit ist schonmal $\begin{eqnarray} U \subset (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ Kriegst Du jetzt die Gleichheit hin?
16.06.2011, 14:23	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh nit warum aus $\begin{eqnarray} \langle u, u_p \rangle = 0 ~ \forall u_p \in U^\perp \Rightarrow U \subset (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ folgt... =(
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16.06.2011, 14:39	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei $\begin{eqnarray} u_p \in U^\perp \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \langle u , u_p \rangle \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ nach Definition. Da dies für alle $\begin{eqnarray} u_p \end{eqnarray}$ gilt, ist also insbesondere $\begin{eqnarray} \langle u,u_p \rangle = 0 ~ \forall u_p \in U^\perp \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} u \in (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ . Daher folgt $\begin{eqnarray} U \subset (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$
16.06.2011, 14:50	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man ich bin so blöd.... ich versteh einfach nit warum aus $\begin{eqnarray} \forall u^\perp \in U^\perp , \forall u\in U: u^\perp \perp u \end{eqnarray}$ folgen soll, dass U eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ ist.
16.06.2011, 16:20	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist Grundlagenmathematik. Ich nehme an das $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ ist, und zeige dass $\begin{eqnarray} u \in (U^\perp)^\perp \end{eqnarray}$ ist. Das ist die Definition von Teilmenge...
17.06.2011, 22:06	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
okey habs jetz kapiert und hab den rest alleine geschafft vielen dank!

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