arctan(x)+arctan((1-x)/(1+))=pi/4

13.12.2006, 21:25

inf1nity

arctan(x)+arctan((1-x)/(1+))=pi/4

Nabend alle zusammen,

ich soll folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} arctan(x)+arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Ich habe versucht irgendwie umzuformen damit ich $\begin{eqnarray*} arctan(1)=\frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ bekomme.

Angewendet habe ich:
$\begin{eqnarray*} arctan(x)=\frac{ln(1+ix)-ln(1-ix)}{2i} \end{eqnarray*}$
Leider komme ich dabei nicht auf das gewünschte Ergebnis bzw. kann am Ende irgendwie nicht so kürzen, dass es auf 1 übergeht. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Gruß

inf1nity

13.12.2006, 21:43

Mathespezialschüler

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Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \tan(x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y} \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht reicht das ja schon als Tipp.

Gruß MSS

13.12.2006, 22:40

inf1nity

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Ich hab irgendwie keine Ahnung wie ich deinen Tipp einsetzen könnte unglücklich

Noch nen Tipp bitte! Wink

13.12.2006, 22:45

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Der Tipp von MSS war schon der richtige - du darfst nur nicht den Fehler begehen, dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in dem Tangens-Additionstheorem gleichzusetzen. Ich schreib's deshalb mal mit anderen Variablennamen, und du schaust es nochmal scharf an:

$\begin{eqnarray*} \tan(u+v)=\frac{\tan u+\tan v}{1-\tan u\tan v} \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 23:07

inf1nity

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Ich habe mittlerweile die umgekehrte Gleichung gefunden in Wikipedia:
$\begin{eqnarray*} arctan(u)+arctan(v)=arctan\left(\frac{x+v}{1-xv}\right) \end{eqnarray*}$

Mir erschließt sich nur nicht, wie ich diesen Ausdruck erhalten soll nachdem ich den Tipp von euch mit arctan multipliziert habe.

$\begin{eqnarray*} arctan(tan(u+v))=u+v \end{eqnarray*}$ Oder etwa nicht?
Wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} arctan(u)+arctan(v) \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2006, 23:11

Mathespezialschüler

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Setze $\begin{eqnarray*} u=\arctan x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \end{eqnarray*}$ in Arthur Gleichung und staune. Augenzwinkern

Gruß MSS

13.12.2006, 23:44

inf1nity

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Okay vielen Dank an alle Wink

Habs verstanden!

Gruß

inf1nity

14.12.2006, 00:09

Leopold

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Alternativ kann man solche Aufgaben auch so lösen:

Definiere die linke Seite der zu beweisenden Gleichung als $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung besagt dann gerade, daß $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ konstant ist. Und das kann man durch Berechnung der Ableitung nachweisen. Zum Beispiel mit dem Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \to - \infty \end{eqnarray*}$ kann man die Konstante auch bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \arctan{x} + \arctan{\frac{1-x}{1+x}} \ = \ \begin{cases} \frac{\pi}{4} & \mbox{für} \ x>-1 \\ - \frac{3}{4} \, \pi & \mbox{für} \ x < -1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

16.12.2006, 11:29

itchy00

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Zitat:

Original von Leopold
Alternativ kann man solche Aufgaben auch so lösen:

Definiere die linke Seite der zu beweisenden Gleichung als $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung besagt dann gerade, daß $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ konstant ist. Und das kann man durch Berechnung der Ableitung nachweisen. Zum Beispiel mit dem Grenzübergang $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \to - \infty \end{eqnarray*}$ kann man die Konstante auch bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \arctan{x} + \arctan{\frac{1-x}{1+x}} \ = \ \begin{cases} \frac{\pi}{4} & \mbox{für} \ x>-1 \\ - \frac{3}{4} \, \pi & \mbox{für} \ x < -1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

ich bekomme es hin, hier zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , und damit $\begin{eqnarray*} f(x) = const \end{eqnarray*}$ ist
aber wie kommt man daraus auf die Lösungen $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

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