Basis bestimmen

16.06.2011, 15:59

Kaschi

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Basis bestimmen

Hallo Community,

Hänge bei einer Aufgabe:

Bestimmen sie die Basis für

$\begin{eqnarray*} W := span(t^{2} + t + 1, t^{2} + t, t^{2} + 1, t^{2}, t^{7} + t^{9}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} + t + 1 \end{eqnarray*}$ kann ich ausschließen da ich ihn durch Kombination der anderen darstellen kann.Die anderen habe ich durch eine Matrize ersetzt und konnte zeigen das sie linear unabhängig sind.Jetzt hänge ich bei $\begin{eqnarray*} t^{7} + t^{9} \end{eqnarray*}$ .Kann ich hier vielleicht einfach sagen das die Potenzen von t ungerade sind der Rest der Basen aber gerade und ungerade Potenzen besitzt?

16.06.2011, 16:06

tigerbine

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Die Aufgabe ist ganz einfach, wenn man weiß um welchen Vektorraum es geht und wie dort die Standardbasis aussieht.

16.06.2011, 16:29

Kaschi

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Aber wenn man nicht weiß um welchen Vektorraum es sich handelt,muss man es wohl durch rechnen zeigen

16.06.2011, 16:33

tigerbine

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Es war der Denkauftrag an dich, dir zu überlegen, welcher VR es ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2011, 16:38

Kaschi

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RE: Basis bestimmen

Zitat:

Original von Kaschi
Hallo Community,

Hänge bei einer Aufgabe:

Bestimmen sie die Basis für

$\begin{eqnarray*} W := span(t^{2} + t + 1, t^{2} + t, t^{2} + 1, t^{2}, t^{7} + t^{9}) \end{eqnarray*}$

Hatte etwas vergessen:

$\begin{eqnarray*} W := span(t^{2} + t + 1, t^{2} + t, t^{2} + 1, t^{2}, t^{7} + t^{9}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R}[t] \end{eqnarray*}$

Aber wird wohl nichts am Denkauftrag ändern smile

smile

16.06.2011, 16:40

tigerbine

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RE: Basis bestimmen
Nö, es sollte ihn dir sogar erleichtern...

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16.06.2011, 17:00

Kaschi

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OK die Standartbasen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[t] \end{eqnarray*}$ sind ja $\begin{eqnarray*} 1, t, t^{2}, t^{3} \end{eqnarray*}$

Nur zum Verständnis, wären $\begin{eqnarray*} t^{2} + t , t^{2} + 1 , t^{2} \end{eqnarray*}$ schon Basen von W?

16.06.2011, 17:02

tigerbine

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Aua. Standard.

Und welche Dimension hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[t] \end{eqnarray*}$ ? Aber die Monome $\begin{eqnarray*} 1, t, t^{2}, t^{3} \end{eqnarray*}$ ,... bilden die Standardbasis.

Nun schau dir W noch mal an. Was ist denn die höchste Potenz p, die dort auftritt? Dann wollen wir unsere Betrachtungen nämlich auf den UVR
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_p[t] \end{eqnarray*}$ einschränken.

16.06.2011, 22:48

bafla13

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Zitat:

Original von tigerbine
Aua. Standard.

Und welche Dimension hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[t] \end{eqnarray*}$ ? Aber die Monome $\begin{eqnarray*} 1, t, t^{2}, t^{3} \end{eqnarray*}$ ,... bilden die Standardbasis.

Nun schau dir W noch mal an. Was ist denn die höchste Potenz p, die dort auftritt? Dann wollen wir unsere Betrachtungen nämlich auf den UVR
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_p[t] \end{eqnarray*}$ einschränken.

was heißt das eigentlich?? muss man die als matrix zeigen ?
ich habe die vektoren so geschrieben
$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix} 1 1 1 0 0\\ 0 1 1 0 0 \\ 1 0 1 0 0 \\ 0 0 1 0 0 \\ 0 0 0 1 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
\begin{bmatrix}

wobei jede zeil einem polynom gehört
ist das so richtig? oder muss ich 9 unabhängige zeilen haben weil die potenz =9 ist??
und dann weiter?? da diese werte unabhängig sind ,dann sind die auch die basis?? oder wie geht das bitte??

16.06.2011, 22:52

tigerbine

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Die Aufgabe wurde von Kaschi eingestellt. Wer bist du nun? verwirrt

verwirrt

16.06.2011, 22:54

bafla13

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einer der versucht die zu lösen?? ist das ein problem?? hh

16.06.2011, 22:58

tigerbine

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Ja, weil es Kaschi's Aufgabe ist und er auf die nächsten Schritte selbst kommen soll. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und warum das Gepushe? unglücklich

unglücklich

edit: post lesen

16.06.2011, 23:02

bafla13

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nein ich hollte es auch versuchen und ja konnte nicht weiter:S ich meinte nichts damit:S kannst du mir bitte eine private nachricht schreiben??

16.06.2011, 23:07

Kaschi

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Er ist wahrscheinlich jemand der mit mir studiert smile

smile

@bafla13
Ja soweit war ich auch bafla13.Ich habe die Matrix aufgestellt und konnte den vorletzten 3, lineare Unabhängigkeit nachweisen.Allerdings kann man das so bei $\begin{eqnarray*} t^{7} + t^{9} \end{eqnarray*}$ glaube ich nicht mehr zeigen,da man nichts wegkürzen kann.Klar wenn das der einzige Term is der diese Potenzen hat.

Aber anscheinend ist die Lösung wesentlich einfacher.

@tigerbine
Die höchste Potenz ist $\begin{eqnarray*} t^9 \end{eqnarray*}$ also betrachten wir $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{9}[t] \end{eqnarray*}$ .Sind die Basen von W dann $\begin{eqnarray*} t^{0},t^{1},t^{2},t^{7},t^{9} \end{eqnarray*}$ ? Glaube zwar nicht das das die Antwort ist,aber mir fällt nicht auf was du damit sagen willst

16.06.2011, 23:18

bafla13

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Zitat:

Original von Kaschi
Er ist wahrscheinlich jemand der mit mir studiert smile

smile

@bafla13
Ja soweit war ich auch bafla13.Ich habe die Matrix aufgestellt und konnte den vorletzten 3, lineare Unabhängigkeit nachweisen.Allerdings kann man das so bei $\begin{eqnarray*} t^{7} + t^{9} \end{eqnarray*}$ glaube ich nicht mehr zeigen,da man nichts wegkürzen kann.Klar wenn das der einzige Term is der diese Potenzen hat.

Aber anscheinend ist die Lösung wesentlich einfacher.

@tigerbine
Die höchste Potenz ist $\begin{eqnarray*} t^9 \end{eqnarray*}$ also betrachten wir $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}_{9}[t] \end{eqnarray*}$ .Sind die Basen von W dann $\begin{eqnarray*} t^{0},t^{1},t^{2},t^{7},t^{9} \end{eqnarray*}$ ? Glaube zwar nicht das das die Antwort ist,aber mir fällt nicht auf was du damit sagen willst

was meinst du mit den vorletzten 3,lineare unabhängigkeit nachweisen??? keine gleichung ist abhängig mit der anderen oder??

16.06.2011, 23:19

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir hatten

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W := span(t^{2} + t + 1,~ t^{2} + t,~ t^{2} + 1,~ t^{2},~ t^{7} + t^{9}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R}[t] \end{eqnarray*}$

und machen daraus nun Koordinatenvektoren bzgl. der Monombasis und die tragen wir als Spalten in eine Matrix ein. Von Oben nach unten, beginnend bei 1,t,t² etc. Und da stimmt es schon nicht bei euch. Die Matrix hat ja noch nicht mal die richtige Abmessung. 10 x 5 muss das sein.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 &1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1& 1 & 1 &0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0&0&0&0&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun sollte man dieses Erzeugendensystem reduzieren, um nicht Gefahr zu laufen, dass das Erzeugnis nicht mehr stimmt. Ansonsten siehe auch

[Artikel] Basis, Bild und Kern

Man kann eine Basis hier aber direkt ablesen, wenn man genau hinschaut.

16.06.2011, 23:52

bafla13

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Zitat:

Original von tigerbine
Also wir hatten

Zitat:

$\begin{eqnarray*} W := span(t^{2} + t + 1,~ t^{2} + t,~ t^{2} + 1,~ t^{2},~ t^{7} + t^{9}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R}[t] \end{eqnarray*}$

und machen daraus nun Koordinatenvektoren bzgl. der Monombasis und die tragen wir als Spalten in eine Matrix ein. Von Oben nach unten, beginnend bei 1,t,t² etc. Und da stimmt es schon nicht bei euch. Die Matrix hat ja noch nicht mal die richtige Abmessung. 10 x 5 muss das sein.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 &1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1& 1 & 1 &0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0&0&0&0&0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun sollte man dieses Erzeugendensystem reduzieren, um nicht Gefahr zu laufen, dass das Erzeugnis nicht mehr stimmt. Ansonsten siehe auch

[Artikel] Basis, Bild und Kern

Man kann eine Basis hier aber direkt ablesen, wenn man genau hinschaut.

ok und dann kriegen wir nach dem verfahren von gauß so was??
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 0 1 0 0 \\ 0 1 (-1) 0 0\\ 0 0 1 1 0\\ 0 0 0 0 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die andere null zeilen waren unnötig deswegen habe ich die dazu nciht geschrieben,sowieso sind fie keine basis oder?

16.06.2011, 23:54

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Gauss. Man kann den Rang doch ablesen und auch die Basis. Spalte 5 ist wohl sicher "dabei". Nun eben den Rest scharf anschauen.

17.06.2011, 00:00

bafla13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Kein Gauss. Man kann den Rang doch ablesen und auch die Basis. Spalte 5 ist wohl sicher "dabei". Nun eben den Rest scharf anschauen.

jo und wenn ich richtig verstanden habe dann mussten die spalten 5 und 1 die basis sein oder???

17.06.2011, 00:00

tigerbine

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Nein, das sind zu wenige.

17.06.2011, 00:03

bafla13

Auf diesen Beitrag antworten »

mm also wir müssen von dem basis alle vektoren darstellen können ,nun habe ich bemerkt dass wir dafür alle vektoren brauchen außer den vierten da es mit den ersten 3 darstellt wird kann oder=??? sonst habe ich keine ahnung:S:S

17.06.2011, 00:07

Kaschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schätze mal die Spalten 2-5 sind die Basen...

17.06.2011, 00:08

bafla13

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wieso??

17.06.2011, 00:08

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Da Bienchen offline ist mache ich einmal weiter...

Es müssen alle Vektoren dargestellt werden können, die in W liegen, ein Erzeugendensystem ist gegeben.

Wir müssen also schauen, welche (Spalten)Vektoren linear unabhängig sind.

Welche sind das?

Die 5. Spalte ist drin, die erste auch, welche noch, welche Spalte lässt sich wie als Linearkombination von anderen Spalten darstellen?

17.06.2011, 00:10

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kaschi
Ich schätze mal die Spalten 2-5 sind die Basen...

Das ist richtig, denn die erste Spalte ist darstellbar als 2. Spalte+3. Spalte-4.Spalte.

17.06.2011, 00:12

bafla13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Original von Kaschi
Ich schätze mal die Spalten 2-5 sind die Basen...

Das ist richtig, denn die erste Spalte ist darstellbar als 2. Spalte+3. Spalte-4.Spalte.

aber kannst du mal bitte erklären wie könnte man es maethematisch zeigen?? ich habe immer die unabhängigkeit durch zeilen gezeigt,aber wie kann man es durch spalten?? bitte

17.06.2011, 00:12

Kaschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber die erste spalte lässt sich doch durch lineare kombination der anderen darstellen.Also ist sie doch keine Basis da sie nicht linear unabhängig ist?

17.06.2011, 00:17

Kaschi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} t^{2} + t + 1 = ( t^{2} + t ) + ( t^{2} + 1 ) - ( t^{2} ) \end{eqnarray*}$

durch lineare kombination der anderen kann man die erste Spalte(Edit:hier meine ich natürlich die Vektoren) darstellen.Sie sollte somit also keine Basis sein...

17.06.2011, 00:18

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh beide Fragen nicht wirklich....

Was soll an angabe einer konkreten Linearkombination denn unmathematisch sein? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Ja aber die erste spalte lässt sich doch durch lineare kombination der anderen darstellen.Also ist sie doch keine Basis da sie nicht linear unabhängig ist?

Eine Spalte kann nicht linear abhängig oder unabhängig sein, eine Menge von Vektoren aber schon. Und diese eine Spalte ist sowieso keine Basis von W.....

Wohl aber ist sie eine Basis des eindimensionalen UVR, der durch diesen Vektor aufgespannt wird.

Ich bitte darum, dass sich deutlich ausgedrückt wird.

17.06.2011, 00:23

bafla13

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich verstehe nur kaschi hat gezeigt dass $\begin{eqnarray*} t^2+t+1=t^2+t+(t^2+1)-(t^2) \end{eqnarray*}$
aber dafür hat man die dritte spalte benutzt oder?? und eben die vierte so sind die auch dran außer 1 oder wie??

17.06.2011, 00:26

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Polynome t²+t , t²+1 und t² sind linear unabhängig, wie man leicht sehen kann. Das Polynom t²+t+1 ist aber als Linearkombination dieser drei Polynome darstellbar.

17.06.2011, 00:33

Kaschi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lgrizu
Die Polynome t²+t , t²+1 und t² sind linear unabhängig, wie man leicht sehen kann. Das Polynom t²+t+1 ist aber als Linearkombination dieser drei Polynome darstellbar.

Aber wäre nicht z.B. t² + t = (t² + t + 1) - (t² + 1) + (t²) ?

17.06.2011, 00:36

bafla13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kaschi

Zitat:

Original von lgrizu
Die Polynome t²+t , t²+1 und t² sind linear unabhängig, wie man leicht sehen kann. Das Polynom t²+t+1 ist aber als Linearkombination dieser drei Polynome darstellbar.

Aber wäre nicht z.B. t² + t = (t² + t + 1) - (t² - 1) + (t²) ?

ja ich habe mir so auch gedacht,und dann braucht man die erste spalte wieder
aber die erste spalte kann man als $\begin{eqnarray*} t^2+t+t^2+1-t^2 \end{eqnarray*}$ zeigen so brauch man die erste spalte nicht mehr,aber kann ich sowas machen??

17.06.2011, 00:39

lgrizu

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Sicherlich kann man eine Basis auch anders wählen als die Spalten 2,3,4,5.

17.06.2011, 00:41

bafla13

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ok kappierste endlich,danke sehr, dir und den binetiger

17.06.2011, 00:42

Kaschi

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Ah verstehe,danke für die Hilfe!

17.06.2011, 00:49

lgrizu

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okidokey, wenn noch Fragen sind, melden. Wink

Wink

17.06.2011, 00:57

Kaschi

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Ok ich will nur auf sicher gehen das ich richtig verstanden habe:

Eine Basis von W wäre :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 &1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1& 1 & 1 &0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0&0&0&0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.06.2011, 00:58

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist keine Basis sondern eine Matrix. Die Spaltenvektoren dieser Matrix bilden eine Basis von W.
Eine Basis ist eine Menge von Vektoren.

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