Differentialrechnung Ableitung

16.06.2011, 16:43

Mr.Wahnsinn

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Differentialrechnung Ableitung

Hallo.
ich soll folgende funktion ableiten

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt[3]{x} * e^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

ich hab das hier raus, was leider total falsch ist.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{3}x^{- \frac{2}{3} } * e^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

das richtige ergebnis lautet angeblich

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{\sqrt{x} }*(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2} } } + \frac{1}{2\sqrt[6]{x} } ) \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 16:45

Explo

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Stichwort Produktregel

16.06.2011, 16:53

Mr.Wahnsinn

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die heißt ja

u'*v+u*v'

also müsste das ja dann so sein

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{1}{3}x^{- \frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'= e^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(\frac{1}{3}x^{- \frac{2}{3} }*e^{\sqrt{x} })+(\sqrt[3]{x}*e^{\sqrt{x} } ) \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

16.06.2011, 16:59

Explo

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} v'= e^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

v' stimmt nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.06.2011, 17:03

Mr.Wahnsinn

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okay... ich dachte e bleibt immer gleich.

$\begin{eqnarray*} v'= \frac{1}{2}e^{x^{- \frac{1}{2} } } \end{eqnarray*}$

würde das stimmen?

16.06.2011, 17:08

Explo

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Nein.

Dafür wird die Kettenregel gebraucht =)

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16.06.2011, 17:12

Mr.Wahnsinn

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das verwirrt mich jetzt ein wenig^^

brauch ich jetzt die produktregel UND die kettenregel? oder muss ich die kettenregel nur bei dem e teil anwenden?

16.06.2011, 17:40

Mr.Wahnsinn

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bitte um hilfe Gott

Gott

16.06.2011, 18:28

Alive-and-well

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Du braucht sie Produktregel weil du ein Produkt Differenzieren willst.
Diese lautet wir du schon richtig sagtes: uv' + u'v.

um jetzt
u' und v' zu ermitteln brauchst du die Kettenregel.

Das die E-Funktion "immer gleich bleibt" ist auch richtig allerdings kommt hier jetzt die Kettenregel zum Einsatz und du musst "nachdifferenzieren".

16.06.2011, 18:59

Mr.Wahnsinn

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wieso brauch ich die kettenregel, um v' und u' zu definieren?
ich dachte die kettenregel brauche ich nur um abzuleiten.

soweit ich mich nicht täusche, liegt der fehler darin, das v' falsch ist.

ich hab jetzt einfach nochmal v' ausgerechnet

$\begin{eqnarray*} v'=\frac{1}{2}x^{- \frac{1}{2} } *e^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

danach denk ich, das ich dann einfach die kettenregel anwenden kann und dann hab ich schon die lösung oder ?

16.06.2011, 19:15

Mr.Wahnsinn

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ups das was ich geschrieben hab, widerspricht sich ja.

ich kapier einfach die ganze aufgabe nicht. ich seh da nur ein u und ein v .

warum ist dann die aufgabe so kompliziert? wo liegt denn der hacken bei der ganzen sache? ich könnte hier einfach die produktregel anwenden und fertig wäre die sache... aber scheinbar geht das aus irgendeinen grund nicht

16.06.2011, 19:48

ghstth

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Hallo, bekomm zwar auch nicht das Ergebnis raus, könnte mir aber vorstellen das,dass so gemeint war:

$\begin{eqnarray*} u= \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^`=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3} }} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Kettenregel benutzen, dann kommt das dabei herraus:

$\begin{eqnarray*} v^`=\frac{e^{\sqrt{x}} }{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

und jetzt alles in die Produktregel einsetzen.

16.06.2011, 20:12

Mr.Wahnsinn

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ich habs eingesetzt aber da kommt auch nur falsches raus. ich weiß nicht wie ich auf das ergebnis kommen soll.

16.06.2011, 20:38

Explo

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Also .. Du musst um die gesamte Ableitung zu bilden die Produktregel benutzen.

Da du ja folgendes hast

$\begin{eqnarray*} f(x)=u \cdot v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} v= e^{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Für die Produktregel musst du dann das $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nochmal jeweils ableiten, weil du ja $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$ brauchst.

um $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ abzuleiten, brauchst du aber die Kettenregel, da du $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt {x}} \end{eqnarray*}$ nicht einfach so ableiten kannst

Deswegen brauchst du bei dieser Aufgabe die Produktregel und die Kettenregel, richtig.

Edit: "Ich habs eingesetzt und es kam was falsches raus" .. Dann zeige doch mal deinen Weg, den du gegangen bist und wir können den Fehler suchen.

16.06.2011, 21:26

Mr.Wahnsinn

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3x^{\frac{2}{3} } }*e^{\sqrt{x}}+\frac{e\sqrt{x} }{2\sqrt{x} }*x^{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\sqrt{x} }}{3x^{\frac{2}{3} } }+\frac{e\sqrt{x} *x^{\frac{1}{3}} }{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\sqrt{x} }}{3x^{\frac{2}{3} } }+\frac{e^{\frac{1}{2} }*x^{\frac{1}{3} }*x^{\frac{-1}{2} }}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\sqrt{x} }}{3x^{\frac{2}{3} } }+\frac{e^{\frac{1}{2} }*x^{\frac{-1}{6} }}{2} \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich nicht unglücklich

unglücklich

16.06.2011, 21:48

Explo

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Bitte deine Zeilen in Zukunft mit Pfeilen und/oder $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ versehen, so macht das alles keinen Sinn, was du da aufgeschrieben hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und wie bist du denn von der 2. auf die 3. Zeile gekommen ? (Beachte es ist $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} e\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ (also hoch, nicht mal)

16.06.2011, 22:00

Mr.Wahnsinn

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oh da habe ich ein x vergessen.

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\sqrt{x} }}{3x^{\frac{2}{3} } }+\frac{e^{x\frac{1}{2} }*x^{\frac{1}{3} }*x^{\frac{-1}{2} }}{2} \end{eqnarray*}$

so soll es aussehen.

16.06.2011, 22:03

Mr.Wahnsinn

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$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\sqrt{x} }}{3x^{\frac{2}{3} } }+\frac{e^{x^\frac{1}{2} }*x^{\frac{1}{3} }*x^{\frac{-1}{2} }}{2} \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 22:42

Mr.Wahnsinn

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explo ist gerade offline. kann mir jemand anderes helfen?

ich komm echt nicht weiter unglücklich

unglücklich

16.06.2011, 22:47

Explo

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Zitat:

Original von Explo
Bitte deine Zeilen in Zukunft mit Pfeilen und/oder $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ versehen, so macht das alles keinen Sinn, was du da aufgeschrieben hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum sollte man(ich) dir weiter helfen, wenn du nichtmal Hinweise beachtest? ...

Um auf deine Musterlösung zu kommen brauchst du nur noch 2 Schritte ..

Stichworte: Ausklammern & Erweitern.

16.06.2011, 23:18

Mr.Wahnsinn

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wegen einem gleichheitszeichen braucht man nicht gleich so überreagieren.

so ? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} =\frac{e\sqrt{x} }{3\sqrt[3]{x} }+\frac{e\sqrt{x}*x^{\frac{-1}{6} }*1 }{2*e\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 23:25

Mr.Wahnsinn

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wegen einem gleichheitszeichen braucht man nicht gleich so überreagieren.

so ? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{e\sqrt{x} }{3\sqrt[3]{x} }+\frac{e\sqrt{x}*x^{\frac{-1}{6} }*1 }{2*e\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 23:33

Explo

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Es ist einfach unnötig schwerer das dann zu überblicken für den Helfer Augenzwinkern

Augenzwinkern

Achte auch mal bitte drauf, dass du auch hoch schreibst, wenn du hoch meinst usw...

Und nein, Klammer mal $\begin{eqnarray*} e^{\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ aus und gucke, ob du dann so erweitern kannst, sodass du auf das gleiche kommst wie in der Musterlösung =)

16.06.2011, 23:41

Mr.Wahnsinn

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ok

habe noch einen fehler gefunden Hammer

Hammer

sieht so die erweiterung aus ?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{e\sqrt{x} }{3\sqrt[3]{x} }+\frac{e\sqrt{x}*x^{\frac{-1}{6} }*e\sqrt{x} }{2*e\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e\sqrt{x}*(\frac{1 }{3\sqrt[3]{x} }+\frac{1*x^{\frac{-1}{6} }*{1} }{2*1 }) \end{eqnarray*}$

endergebnis:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{\sqrt{x} }*(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2} } } + \frac{1}{2\sqrt[6]{x} } ) \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 23:46

Explo

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Ach mist ich hatte was falsch bedacht .. Also ich meinte eigentlich, dass du nach dem ausklammern erweitern müsstest, musst du ja aber gar nicht.

Sprich

Die erste Zeile ist nicht notwendig. Sonst ist aber richtig.

16.06.2011, 23:48

Mr.Wahnsinn

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ok

habe noch einen fehler gefunden Hammer

Hammer

jetzt habe ich das schon wieder mit dem e hoch wurzel x falsch geschrieben hier die verbesserung (als gast kann ich leider nicht editieren):

sieht so die erweiterung aus ?

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{e^{\sqrt{x}} }{3\sqrt[3]{x} }+\frac{e^{\sqrt{x}}*x^{\frac{-1}{6} }*e^{\sqrt{x}} }{2*e^{\sqrt{x}} } \end{eqnarray*}$

ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{\sqrt{x}}*(\frac{1 }{3\sqrt[3]{x} }+\frac{1*x^{\frac{-1}{6} }*{1} }{2*1 }) \end{eqnarray*}$

endergebnis:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{\sqrt{x} }*(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2} } } + \frac{1}{2\sqrt[6]{x} } ) \end{eqnarray*}$

16.06.2011, 23:53

Explo

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Zitat:

Original von Explo
Ach mist ich hatte was falsch bedacht .. Also ich meinte eigentlich, dass du nach dem ausklammern erweitern müsstest, musst du ja aber gar nicht.

Sprich

Die erste Zeile ist nicht notwendig. Sonst ist aber richtig.

Damit fällt in der 2. Zeile dann auch das $\begin{eqnarray*} \frac {*1}{*1} \end{eqnarray*}$ weg

Edit: wie gesagt .. es ist aber trotzdem richtig nur halt unnötig, sry.

16.06.2011, 23:53

Mr.Wahnsinn

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Danke

smile

Wink

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