Gleichverteilter Pkt aus 3-dim. Würfel

16.06.2011, 17:22

pongo88

Gleichverteilter Pkt aus 3-dim. Würfel

Hallo,

ich habe Probleme mit einer Aufgabe die ich heute im LK Mathe gestellt bekommen habe: $\begin{eqnarray*} Y=(Y_{1},Y_{2},Y_{3}) \end{eqnarray*}$ sei ein gleichverteilt gewählter Punkt aus den 3-dimensionalen Würfel $\begin{eqnarray*} [0,1]^{3} \end{eqnarray*}$ . Im folgenden sollen die Verteilungsfunktionen F der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X:=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3} \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Die Frage ist jetzt, was z.B. $\begin{eqnarray*} F(1) \end{eqnarray*}$ ist. Als Tipp wurde uns gegeben, die ganzen Fälle im Würfel einzuzeichnen. Also müsste z.B. $\begin{eqnarray*} F(1) \end{eqnarray*}$ quasi eine Pyramide sein oder? D.h. ich muss jetzt den Flächeninhalt der Pyramide berechnen?

Bei $\begin{eqnarray*} F(1,5) \end{eqnarray*}$ bin ich mir unsicher. Könnte das ein Sechseck sein? Ich verstehe leider die Grundidee hinter dieser Aufgabe noch nicht. Könnt ihr mir helfen?

LG

17.06.2011, 02:16

frank09

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Wenn ich das richtig verstehe, sind $\begin{eqnarray*} F(1) \end{eqnarray*}$ alle Punkte deren Koordinatensumme 1 ist, also z.B. $\begin{eqnarray*} Y(0,3|0,3|0,4) \end{eqnarray*}$ Ist eher ein Dreieck als eine Pyramide(wenn man die Seiten des Würfels weglässt), um dessen Fläche es geht. Für F(1,5) ergibt sich eine Art Sechseck.

17.06.2011, 07:27

René Gruber

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Zitat:

Original von pongo88
D.h. ich muss jetzt den Flächeninhalt der Pyramide berechnen?

Rauminhalt (also Volumen) statt Flächeninhalt.

Zitat:

Original von frank09
Wenn ich das richtig verstehe, sind $\begin{eqnarray*} F(1) \end{eqnarray*}$ alle Punkte deren Koordinatensumme 1 ist

Nein: $\begin{eqnarray*} F(1) \end{eqnarray*}$ beschreibt das Volumen des Körpers, wo die Koordinatensumme $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

18.06.2011, 01:20

pongo88

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Danke für die Antwort. Bei $\begin{eqnarray*} F(1) \end{eqnarray*}$ kann ich mir das irgendwie noch gut bildlich vorstellen, das Volumen zu berechnen ist dann auch klar, nur bei $\begin{eqnarray*} F(1.5) \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht so recht weiter. Es ergibt sich ja wohl ein regelmäßiges Sechseck, hier lässt sich ja mit Rauminhalt nicht mehr argumentieren, oder verstehe ich was falsch?

18.06.2011, 19:01

riwe

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ich bin mir auch nicht sicher, wäre aber auch für ein 6eck als schnittfläche.
nimm einmal ein packerl butter und schneide es entsprechend auseinander, da
bleibt auch etwas übrig, mit dem man argumentieren bzw. das man auf´s brot schmieren kann Augenzwinkern

hoffentlich erbarmt sich rene gruber deiner Augenzwinkern

18.06.2011, 19:06

René Gruber

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Zitat:

Original von pongo88
Es ergibt sich ja wohl ein regelmäßiges Sechseck, hier lässt sich ja mit Rauminhalt nicht mehr argumentieren, oder verstehe ich was falsch?

Doch, wieso soll das jetzt anders sein? Der Körper, von dem jetzt das Volumen bestimmt werden muss, sieht jetzt eben etwas komplizierter aus. Das erwähnte und von riwe gezeichnete Sechseck ist lediglich eine Grenzfläche dieses Körpers.

18.06.2011, 20:18

Huggy

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Wenn man so hinschaut, könnte man vielleicht auf die Idee kommen, dass der Würfel durch das Sechseck in 2 kongruente Teile zerlegt wird. Dann muss man nichts rechnen. Man könnte die Punktspiegelung

$\begin{eqnarray*} x \rightarrow 1-x, \quad y \rightarrow 1-y, \quad z \rightarrow 1-z \end{eqnarray*}$

heranziehen.

18.06.2011, 20:59

riwe

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was bedeutet: einfach das volumen halbieren verwirrt

wobei nun vermutlich das volumen für d <> 1.5 gefragt ist

18.06.2011, 21:19

René Gruber

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Im Fall $\begin{eqnarray*} 1\leq d\leq 2 \end{eqnarray*}$ kann man den für $\begin{eqnarray*} F(d) \end{eqnarray*}$ relevanten Körper als ein Tetraeder ansehen, wo an drei Ecken jeweils ein kleineres Tetraeder abgesägt wird. Konkret führt das zu

$\begin{eqnarray*} F(d) = \frac{d^3-3(d-1)^3}{6} \end{eqnarray*}$ .

18.06.2011, 21:36

riwe

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dann sage ich schon einmal: danke schön.

eine interessante aufgabe!
bleibt nur der nun einfache rest Augenzwinkern

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