Newton Polynom und Chebyshev Knoten
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16.06.2011, 19:26 kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »
Newton Polynom und Chebyshev Knoten
Meine Frage:
Hallo!
Ich besuche ein Proseminar in Numerik und steig gerade komplett aus. Meine Aufgabe lautet:

Interpolieren sie die Funktion f(x)= 1/(1+25x^2) auf dem Intervall I=[-1,1] mit einem Newton-Polynom P10(x).
Verwenden sie dazu (a) adäquiste Stützstellen und (b) die Chebyshev Knoten mit k = 1,...,n.

Meine Ideen:
Was muss ich hier bitte machen? Ich kann ja nicht die Newton Polynome bis zum 10. Grad aufschreiben. Da werd ich ja zum Schwammerl! Muss das sein, oder ist hier irgendeine Formel an der Reihe die ich nicht kenne??

Bitte um Hilfe!!!

lg kleines_pi
16.06.2011, 19:28 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton Polynom und Chebyshev Knoten
Verstehe dein Problem nicht. Bestimme die nötige Anzahl an Stützstellen für ein IP vom Grad 10 und rechne es dann mit dem Schema aus.
16.06.2011, 19:36 kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

Also rechne ich das auch bei solch einem langen Polynom trotzdem nach dem Schema runter? Ich such mir einfach 11 Stellen und rechne seitenweise?!
16.06.2011, 19:38 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die 11 Stellen sind in (a) und (b) eindeutig vorgegeben. Und "Seitenweise" ist es ja nun auch nicht...
16.06.2011, 19:43 kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

hab mich vorhin verschrieben..ich meinte natürlich äquidistante Stützstellen. Heisst das, dass die 11 Stützstellen ungerade sind?
Entschuldigt die dumme Frage.
16.06.2011, 19:44 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Heisst das, dass die 11 Stützstellen ungerade sind?


11 ist ungerade. Ansonsten verstehe ich den Sinn der Frage nicht.
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16.06.2011, 19:52 kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine die Bedeutung von "äquidistante" Stützstellen.
Bedeutet das einfach, dass ich mir 11 Zahlen zwischen 0 und 1 hernehme oder bedeutet "äquidistante", dass diese 11 Zahlen eine gewisse Eigenschaft haben müssen (wie zB ungerade sein). Es geht mir hier nur um die Bedeutung von äquidistant.
16.06.2011, 19:55 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

äqui = gleich, also gleiche Distanz... -1,-0.8,-0.6 etc.
16.06.2011, 20:04 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal das, was dich erwartet. Willkommen in Runges Welt

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eiter mit beliebiger Taste
 
Newton-Darstellung  
===============================================================================================
 
Dividierte Differenzen Schema
-----------------------------
 
DD =
   -1.0000    0.0385    0.1018    0.2602    0.7919    2.6867   -6.3631  -17.6753   84.8416 -167.9157  220.9417 -220.9417
   -0.8000    0.0588    0.2059    0.7353    2.9412   -3.6765  -27.5735  101.1029 -183.8235  229.7794 -220.9417         0
   -0.6000    0.1000    0.5000    2.5000   -0.0000  -31.2500   93.7500 -156.2500  183.8235 -167.9157         0         0
   -0.4000    0.2000    1.5000    2.5000  -25.0000   62.5000  -93.7500  101.1029  -84.8416         0         0         0
   -0.2000    0.5000    2.5000  -12.5000   25.0000  -31.2500   27.5735  -17.6753         0         0         0         0
         0    1.0000   -2.5000    2.5000    0.0000   -3.6765    6.3631         0         0         0         0         0
    0.2000    0.5000   -1.5000    2.5000   -2.9412    2.6867         0         0         0         0         0         0
    0.4000    0.2000   -0.5000    0.7353   -0.7919         0         0         0         0         0         0         0
    0.6000    0.1000   -0.2059    0.2602         0         0         0         0         0         0         0         0
    0.8000    0.0588   -0.1018         0         0         0         0         0         0         0         0         0
    1.0000    0.0385         0         0         0         0         0         0         0         0         0         0
 
Interpolationspolynom
---------------------
 
p_10(x)= 
 
         + 0.0384615 
         + 0.10181 * [x + 1]   
         + 0.260181 * [x + 1] [x + 0.8]   
         + 0.791855 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6]   
         + 2.68665 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6] [x + 0.4]   
         - 6.36312 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6] [x + 0.4] [x + 0.2]   
         - 17.6753 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6] [x + 0.4] [x + 0.2] [x - 0]   
         + 84.8416 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6] [x + 0.4] [x + 0.2] [x - 0] [x - 0.2]   
         - 167.916 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6] [x + 0.4] [x + 0.2] [x - 0] [x - 0.2] [x - 0.4]   
         + 220.942 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6] [x + 0.4] [x + 0.2] [x - 0] [x - 0.2] [x - 0.4] [x - 0.6]   
         - 220.942 * [x + 1] [x + 0.8] [x + 0.6] [x + 0.4] [x + 0.2] [x - 0] [x - 0.2] [x - 0.4] [x - 0.6] [x - 0.8]   
 
Weiter mit beliebiger Taste
 
Monom-Darstellung  
===============================================================================================
 
p_10(x)= 
 
     + 1 * x^0     + 1.32772e-014 * x^1     - 16.8552 * x^2     + 5.55112e-013 * x^3     + 123.36 * x^4     - 3.26018e-012 * x^5     - 381.434 * x^6     + 5.09575e-012 * x^7     + 494.91 * x^8     - 2.40396e-012 * x^9     - 220.942 * x^10

[attach]20143[/attach]
20.06.2011, 23:10 kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dafür! Ich hab es rechnerisch jetzt auch geschafft. Wie komme ich denn zu diesem Programm? Ich brauche das ganze nämlich nochmal mit den Chebyshev Knoten.
20.06.2011, 23:23 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du dir eins schreiben. Big Laugh [WS] - Programmsammlung Numerik
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