Grenzwert bestimmen

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Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen
Soll folgenden Grenzwert berechnen:


Ich muss doch hier einfach nur für x die 1 einsetzen und ausrechnen oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird aber eher zu Problemen führen wenn du einfach nur 1 einsetzt, denn...
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich dann durch null teilen würde.. das ist mir aufgefallen.. Aber wie errechne ich in dem Fall den Grenzwert?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest versuchen alles auf einen Nenner zu bringen und dann den Zähler faktorisieren...
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit

den zweiten Bruch erweitern?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
 
 
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »



Soweit so gut.. Nun habe ich aber immernoch den Zähler der 0 wäre wenn ich 1 einsetze oder nicht?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt nun alles als einen Bruch schreiben, den Zähler zusammenfassen und dann faktorisieren.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »


Ist das so richtig im Zähler?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun x ausklammern?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein nun erstmal zusammenfassen, oder möchtest du 3 und -1 nicht miteinander verrechnen ? Augenzwinkern
x ausklammern bringt in diesem Fall nichts.
Überlege dir wie man sonst immer einen quadratischen Term faktorisieren kann.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gute Frage.. wahrscheinlich 2 Klammern.. jeweils mit x in einer Klammer.. durch probieren kriege ich das raus irgendwann .. aber da wirds ja einen einfacheren Trick geben Augenzwinkern

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Joa mit etwas Übung und Kenntnis von Vieta kann man es direkt angeben.
Ansonsten eben von Hand die Nullstellen bestimmen um eine passende Linearfaktordarstellung zu erhalten.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Linearfaktordarstellung hört sich gut an..
Vieta habe ich auch schonmal in grauer Vergangenheit gehört.. Schaue ich mir beides nochmal intensiv an.
Danke für die Tipps!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Wink
Damit die ganze Sache überhaupt zu etwas führt könnte man auch erahnen wie einer der beiden Linearfaktoren lauten könnte. Augenzwinkern
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Einer wird sicher die 1 sein..
mich stört irgendwie die -x².. mit x² wäre es doch einfacher oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, 1 ist schonmal eine Nullstelle und daher ist (x-1) einer der Linearfaktoren.

Edit:

Bedenke -x²-x+2=-(x²+x-2)
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

(-x+1) und (x+2)
kann das sein?

Sorry, mein Fehler muss (x-2) sein
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt und damit man sich der Linearfaktor x-1 auch wirklich wegkürzt musst du noch -1 ausklammern.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »


so?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Die ausgeklammerte -1 fehlt noch im Zähler denn sonst steht da ja nicht mehr -x²-x+2.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich dann x einsetze kommt -1 raus..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre die schon gekürzte Version, genau.
Und nun das Ganze für x gegen 1 streben lassen und staunen was rauskommt. Augenzwinkern

Edit:

Ja -1 ist richtig.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ich immer gucken, dass ich im Nenner alles wegbekomme, was 0 ergibt?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So pauschal kann man das auch nicht sagen, kommt immer auf die AUfgabe bzw den zu untersuchenden Term an.
Oft ist es vielleicht so, immer muss es aber nicht so sein.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Muss mir wohl nochmal ansehen, was der Grenzwert ist, wofür ich ihn brauche und wie ich ihn ausrechne, damit mir das alles mal einleuchtet
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Es kam halt jetzt mal eine konkrete Zahl, also ein endlicher Grenzwert raus.
Das muss nicht so sein, es kann z.B. auch passieren, dass der Term am Ende gegen unendlich strebt, also unendlich groß wird - man spricht dann auch von Divergenz (und im Falle eines endlichen Grenzwertes von Konvergenz, also Annäherung an einen bestimmten Wert).
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »



Wie verhält sich das hier?
Weil ich wenn ich 1 einsetzen würde durch 0 teile und weil die Zahl unter der Wurzel negativ ist gibt es keinen Grenzwert?

Habs verstanden.. Liegt daran, dass Wurzel -1 nicht definiert ist
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass mit dem durch null Teilen ist nicht so das Problem wenn man sich eine Faktorisierung für x²-1 überlegt (binomische Formel).
Dass mit der Wurzel ist allerdings komisch, es sei denn es geht hier um komplexe Grenzwerte (es können auch komplexe Zahlen auftauchen).
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

ja-- (x+1) (x-1)

Da aber dann unter der Wurzel -1 ist klappt das nicht..

Als Lösung steht auch nur n.d.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da aber dann unter der Wurzel -1 ist klappt das nicht..


Dazu hatte ich ja etwas gesagt in welchem Fall das doch zu etwas führen würde.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine letzte, dann ist Schluss für heute



Hier gehts aber wirklich nicht, weil wir dann durhc null teilen würden oder?
SeverinMiles Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen
Mach es dir nicht so schwer.

Kürze den kompletten Term einfach so weit zusammen wie es geht, dann bleibt bei mir stehen:

(-x^2 - x + 2) / (x^3 - 1)

Dann setzte deinen Grenzwert ein, also 1.

Es bleibt stehen 0/0... dass ist ein unbestimmter Grenzwert und deswegen brauchst du die Regeln von L'Hospital.

Sie besagen, dass der Grenzwert von ( Nenner / Zähler ) das Gleiche ist wie der Grenzwert von (Ableitung Zähler / Ableitung Nenner). Also einfach Summandenregel benutzen.

Dann bleibt stehen:

(-2x -1) / (3x)

... wenn du jetzt wieder 1 einsetzt steht dort:

(-3) / (3),

und das ist -1... also ist der Grenzwert -1.


Mit freundlichen Grüßen
SeverinMiles
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Severin..
Werde mir die Methode auch nochmal genau anschauen.
Je mehr ich mir ansehe und je mehr Ideen ich habe, desto besser! Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

@ the beautiest

Stelle dir vor was passiert wenn der Zähler konstant ist und der Nenner gegen null strebt, also immer kleiner wird.

@ SeverinMiles

Ob deine Variante jetzt leichter oder schneller ist sei mal dahin gestellt Augenzwinkern
SeverinMiles Auf diesen Beitrag antworten »
re:
Naja, L'Hospital macht nur Sinn, wenn Unendlich */ Unendlich, 0*/0 und gemischt.
Thebeautiest Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert denn dann? smile
Der Wert wird immer kleiner oder es gibt keinen Wert, wenn der Nenner 0 ist?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nimms mir nicht übel aber ich werde nun gehen weil ich merke dass jemand anderes dringend den Thread übernehmen will und ich hab keine Lust auf Chaos.

Gute Nacht und viel Erfolg weiterhin. Wink
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