Problem mit AWP

17.06.2011, 01:08

Rentabader

Problem mit AWP

Aufgabe: Lösen Sie das AWP

$\begin{eqnarray*} y'=e^{y}*sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0)=-ln 3 \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen:

$\begin{eqnarray*} y'=dy*dx=e^{y}*sin(x) \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} y=-e^{y}*cos{x} \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} y(0)= -ln 3 \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} - ln 3=-e^{- ln 3}*cos{x} \end{eqnarray*}$

Ich glaube der Fehler liegt an dem $\begin{eqnarray*} e^{y} \end{eqnarray*}$ , was habe ich da falsch gemacht?

17.06.2011, 01:14

Ibn Batuta

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$\begin{eqnarray*} y'=\frac{dy}{dx}=e^y\sin x \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

17.06.2011, 01:33

Rentabader

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also:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{dy}{dx}=e^y\sin x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{y} } dy = sin (x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sinh(y)-cosh(y) = - cos(x) \end{eqnarray*}$

richtig?

17.06.2011, 13:32

mYthos

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Warum schreibst du links nicht gleich $\begin{eqnarray*} -e^{-y} \end{eqnarray*}$ ?

mY+

17.06.2011, 14:42

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von mYthos
Warum schreibst du links nicht gleich $\begin{eqnarray*} -e^{-y} \end{eqnarray*}$ ?

mY+

Berechtigter Einwand. Frage mich, wie er von seinem linken Ausdruck auf $\begin{eqnarray*} y(t)=[..] \end{eqnarray*}$ schließen möchte.

Ibn Batuta

17.06.2011, 20:04

Rentabader

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Ja habe mal was gelesen, das man y und dy auf eine seite und x und dx auf die andere Seite bringen soll??

Habe auch kein Plan warum das nun $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ heißt und nimmer $\begin{eqnarray*} dx*dy \end{eqnarray*}$ , weil da steht ja auch $\begin{eqnarray*} e^{y}*sin (x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac {e^{y}}{sin(x)} \end{eqnarray*}$ .

Wörtlich gesprochen: ich verstehe unter $\begin{eqnarray*} y'=e^{y}*sin(x) \end{eqnarray*}$

die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} e^{y}*sin(x) \end{eqnarray*}$

also muss ich das auf der "rechten" Seite "aufleiten" um auf y zu kommen..

"e^y" ist ja aufgeleitet dann "e^y" und "sin (x)" wär ja "-cos (x)"

also

"-e^y*cos (x)"

Was alles zusammen heißt irgendwo habe ich den "plan" verloren Big Laugh

17.06.2011, 21:14

Ibn Batuta

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In der Tat hast du keinen Plan. $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ ist nunmal als $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ definiert. Da ist es völlig egal, was dasteht!

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{e^y}{\sin x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^y}dy=\frac{1}{\sin x}dx \end{eqnarray*}$

Und nun integrieren.

Ibn Batuta

17.06.2011, 23:16

mYthos

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^y}dy=\frac{1}{\sin x}dx \end{eqnarray*}$

Und nun integrieren.
...

Die ursprüngliche Aufgabe führt allerdings auf

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {e^y} ~ \dd y = \sin x ~ \dd x \end{eqnarray*}$

mY+

18.06.2011, 00:46

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Ibn Batuta
...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^y}dy=\frac{1}{\sin x}dx \end{eqnarray*}$

Und nun integrieren.
...

Die ursprüngliche Aufgabe führt allerdings auf

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {e^y} ~ \dd y = \sin x ~ \dd x \end{eqnarray*}$

mY+

Äh, natürlich. Da habe ich mich verschaut. Danke für den Hinweis!

Ibn Batuta

18.06.2011, 11:34

Rentabader

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Also dann habe ich also:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {e^y} ~ \dd y = \sin x ~ \dd x \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} e^{-y} dy=sin (x) dx \end{eqnarray*}$

und Integriert wärs dann:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{-1}*e^{-y} + c = -cos(x) + c \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} -e^{-y} = - cos (x) |*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-y} = cos (x) \end{eqnarray*}$

Richtig?

18.06.2011, 12:30

Mulder

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Die Integrationskonstante kürzt sich nicht einfach so raus! Wer sagt denn, dass das auf beiden Seiten immer die gleiche sein muss?

Es ist auch ohnehin nicht erforderlich, auf beiden Seiten eine solche Konstante hinzuzufügen, es reicht, das auf einer Seite zu tun (man kann sich ja leicht überlegen, wieso). Und wenn man es doch auf beiden Seiten tut, sollte man sie unterschiedlich benennen.

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