Determinante einer Blockmatrix

17.06.2011, 10:22

ChronoTrigger

Determinante einer Blockmatrix

Hallo,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Zitat:

Es seien R ein kommutativer Ring, $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in R^{n \times n} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B \in R^{m \times m} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} C \in R^{n \times m} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} det(\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} )= det(A)det(B) \end{eqnarray*}$ gilt.
Hinweis: Schreiben Sie die Matrix in der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \cdot M \end{eqnarray*}$ für eine Matrix M.

Zur Vereinfachung setze ich erstmal $\begin{eqnarray*} G:=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist schonmal klar, dass G eine $\begin{eqnarray*} (n+m) \times (n+m) \end{eqnarray*}$ Matrix ist.

Dann kann ich $\begin{eqnarray*} G=\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & I_m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben, und dann kann ich den Determinatenmultiplikationssatz anwenden, und benötige nur noch die Determinaten von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & I_m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Leider haben wir in der Vorlesung noch nichts über die Determinate einer Dreicksmatrix bewiesen, deshalb muss das nun hier bewiesen werden.

Das Ganze wollte ich dann mittels Laplace-Entwicklung machen, doch leider scheitert es ein wenig an der Umsetzung.

Ich definiere mir zunächst mal $\begin{eqnarray*} P:=\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M:=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & I_m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante von P müsste ich dann über eine Laplace-Entwicklung berechnen.
Doch mir ist nicht klar, wie ich das Formal machen kann.

Die Formel für eine Entwicklung nach der j-ten Spalte ist $\begin{eqnarray*} det(P)=\sum\limits_{i=1}^{n+m} (-1)^{i+j} p_{i,j} det(P_{i,j}) \end{eqnarray*}$

und für eine Entwicklung nach der i-ten Zeile ist $\begin{eqnarray*} det(P)=\sum\limits_{j=1}^{n+m} (-1)^{i+j} p_{i,j} det(P_{i,j}) \end{eqnarray*}$

Logisch wäre es ja nun, nach der 1. Zeile zu entwickeln, doch dann erhalte ich ja eine $\begin{eqnarray*} (n+m-1) \times (n+m-1) \end{eqnarray*}$ Untermatrix, deren Determinante ich dann wieder berechnen müsste. Und das würde ja endlich oft so weiter gehen. Wie kann ich das also durchführen?

Hat jemand einen Tipp für mich?

danke schonmal im voraus.

17.06.2011, 10:49

René Gruber

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Die Determinante von P müsste ich dann über eine Laplace-Entwicklung berechnen. [...]

Logisch wäre es ja nun, nach der 1. Zeile zu entwickeln, doch dann erhalte ich ja eine $\begin{eqnarray*} (n+m-1) \times (n+m-1) \end{eqnarray*}$ Untermatrix, deren Determinante ich dann wieder berechnen müsste. Und das würde ja endlich oft so weiter gehen.

Um genau zu sein: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -mal geht das so. Und was "übrigbleibt", ist Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

17.06.2011, 14:13

ChronoTrigger

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danke, ich habe es nun hinbekommen smile

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