Wahrscheinlichkeit zu einem Unentschieden

17.06.2011, 14:59	paulquappe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit zu einem Unentschieden Meine Frage: Folgendes Problem bereitet mir Kopfzerbrechen: Die E.T.A. und die P.W.T.A., 2 befeindete Tennisakademien, bestehend aus jeweils mehreren Junior-Tennisspielern, tragen ein Turnier mit insgesamt 108 Matches aus. Dabei geht es nur um das Endergebnis der beiden Akademien gegeneinander, die Siege ihrer Spieler als Punkt verbuchen. Die Frage wäre nun, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Turnier unentschieden endet, also im vorliegenden Fall 54:54. Meine Ideen: Jedes einzelne Spiel kennt genau zwei Ausgänge: Sieg des einen oder Sieg des anderen Spielers - ein Unentschieden ist beim Tennis nicht möglich. Insgesamt wären also 2^108 Ausgänge des Turniers möglich. Wieviele dieser Ausgänge umfassen 54 Siege der einen Akademie? Ich habe versucht eine Formel für diese Frage zu entwickeln, bin aber damit gescheitert. Bei zwei Matches (4 mögliche Ausgänge), führen zwei Ausgänge zu einem 1:1 Unentschieden. (Ich nehme an, alle Spieler sind gleichstark, so dass alles Ausgänge gleichwahrscheinlich sind.) Bei vier Matches (16 Möglichkeiten) sind es sechs, die zu einem 2:2 führen. Bei sechs Matches (64 M) führen 20 zu einem 3:3. Bei acht (256M) 70 (?). Wer kann mir einen Tipp geben? (Das Problem stammt übrigens aus dem Roman von David Foster Wallace: Infinite Jest. Hier wird behauptet, die Wahrscheinlichkeit für ein 54:54-Unentschieden betrüge 2^27, was mir aber nicht einleuchtet.)
17.06.2011, 15:42	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
das kommt entscheidend auf die Wahrscheinlichkeit p eines Sieges von einer der beiden Mannschaften an. Wäre die z.B. 0.5 so wäre $\begin{eqnarray} P(X=54)=\binom {108}{54}\cdot 0.5^{108}=7.66% \end{eqnarray}$ (Münzwurf) bei p=0.4 wäre P(X=54)=0.845% zum Vergleich: $\begin{eqnarray} 2^{-27}=0.00000075% \end{eqnarray}$ Zugrunde liegt die Binomialverteilung $\begin{eqnarray} P(X=54)=\binom {108}{54} p^{54}(1-p)^{54} \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------- zum weiterprobieren: $\begin{eqnarray} \binom {108}{54} =2.485778\cdot 10^{31} \end{eqnarray}$
17.06.2011, 16:25	paulquappe	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank, Dopap! Ich hatte nicht begriffen, dass die Aufgabe im Prinzip auf einen 108fachen Münzwurf hinausläuft, bei dem 54 Mal Kopf (oder Zahl) erscheinen müssen. Sobald ich das einmal eingesehen habe, leuchtet mir auch der Binomialkoeffizient völlig ein. Wenn ich das richtig sehe, könnte ich die Lösung auch folgendermaßen aufschreiben: $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 108 \\ 54 \end{pmatrix}}{2^{108}} \end{eqnarray}$
17.06.2011, 21:06	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr richtig, oder so: $\begin{eqnarray} P=\frac {1 553 611 530 721 090 058 101 157 688 645}{20 282 409 603 651 670 423 947 251 286 016} \end{eqnarray}$

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