jede lineare abbildung ist stetig

17.06.2011, 18:11

Matheersti

jede lineare abbildung ist stetig

Meine Frage:
Hey soll zeigen, dass jede lineare abbildung $\begin{eqnarray*} T:\mathbb R ^{n} ->\mathbb R ^{m} \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Meine Ideen:
Also hab mir folgendes überlegt bin mir aber nich so sicher ob man das so machen kann:
Sei T beliebige lineare Abbildung und A die zugehörige Abbildungsmatrix so dass T(x)=Ax gilt
Sei weiterhinn $\begin{eqnarray*} ||x||=\sum\limits_{i=1}^n |x_{i}| \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} x=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}e_{i} ; x\in \mathbb R ^{n};a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} ||A\sum\limits_{i=1}^n a_{i}e_{i}||=||\sum\limits_{i=1}^n a_{i} A e_{i}|| \leq \sum\limits_{i=1}^n | a_{i}|*||A e_{i}||\leq \max_{i=1,..,n} ||Ae_{i}||*||\sum\limits_{i=1}^n a_{i}e_{i}|| \end{eqnarray*}$

Und mit $\begin{eqnarray*} M:=\max_{i=1,..,n}||Ae_{i}|| \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} ||Tx||\leq M||x|| \end{eqnarray*}$
und damit ist T stetig.
Würde das gehn? Komm v.a mit den Normen noch nicht so klar..
danke lg

18.06.2011, 01:21

Gastmathematiker

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RE: jede lineare abbildung ist stetig
Die Umformungen (Abschätzungen) sind richtig, der Beweis passt also. Man sollte vielleicht nur noch was zur Normäquivalenz sagen.

19.06.2011, 15:00

Matheersti

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RE: jede lineare abbildung ist stetig
ah ok danke erstmal!
also meinst du dass man noch sagen soll dass die normen im K^n äquivalent zueinander sind?!
liebe grüße danke

19.06.2011, 15:20

Gastmathematiker

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RE: jede lineare abbildung ist stetig

Zitat:

Original von Matheersti
ah ok danke erstmal!
also meinst du dass man noch sagen soll dass die normen im K^n äquivalent zueinander sind?!
liebe grüße danke

Wenn der Beweis für den K^n mit einer beliebigen Norm gezeigt werden soll, dann ja

19.06.2011, 15:27

Matheersti

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RE: jede lineare abbildung ist stetig
ok ja von irgendeiner speziellen norm steht nichts da..
danke lg

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jede lineare abbildung ist stetig

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