Schnittgerade zweier Ebenen

17.06.2011, 19:59

tito

Schnittgerade zweier Ebenen

Meine Frage:
Hallo liebe community,

habe folgende Aufgabe zu lösen:

Ich habe 2 Ebenen :

$\begin{eqnarray*} E_1: \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +\lambda_1 *\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} +\gamma_1 *\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_2:2x-y+z+3=0 \end{eqnarray*}$

Und ich brauche die Schnittgerade der beiden Ebenen.

Meine Ideen:
Die beide Ebenen sind nicht kollinear, weil das Kreuzprodukt der beiden Normalverktoren kein Nullvektor ist. D.h. die Ebenen müssen sich schneiden.

Von der ersten Ebene habe ich den Normalverktor ermittelt, in dem ich das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren genommen habe. Dann wieder das Kreuzprodukt mit dem Normalvektor(so kriege ich den Richtungsvektor der Geraden) der zweiten Ebene( sie ist ja in der algebraischen Form).
So jetzt aber habe ich ein Problem den Ortsvektor der Geraden zu ermitteln, weil ich die zweite Ebenengleichung nicht umwandeln kann.
Bitte Hilfe.

17.06.2011, 20:38

riwe

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
setze E1 in E2 ein, dann kannst du einen der beiden parameter durch den anderen ausdrücken
rückeinsetzen in E1 -> schnittgerade

17.06.2011, 20:45

Dopap

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen
warum einfach, wenn's auch kompliziert geht! Stell dir vor, es gibt Leute die kein Kreuzprodukt kennen und das trotzdem löse.

Ebene E_1 ist nicht vollständig. die beginnt mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

was man auch in 3 Zeilen schreiben kann. x y und z in E_2 eigesetzt...

17.06.2011, 20:51

tito

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von riwe
setze E1 in E2 ein, dann kannst du einen der beiden parameter durch den anderen ausdrücken
rückeinsetzen in E1 -> schnittgerade

Das ist ja das Problem. Wie tue ich das ?

17.06.2011, 20:53

tito

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von Dopap
warum einfach, wenn's auch kompliziert geht! Stell dir vor, es gibt Leute die kein Kreuzprodukt kennen und das trotzdem löse.

Ebene E_1 ist nicht vollständig. die beginnt mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}=... \end{eqnarray*}$

was man auch in 3 Zeilen schreiben kann. x y und z in E_2 eigesetzt...

Es führen mehrere Wege nach Rom. Ich habe es mit dem Kreuzprodukt gelernt und so versuche ich auch das Gelernte anzuwenden.
Bin selbstverständlich für jede richtige Möglichkeit offen.

Warum ist E1 Ebene unvollständig ? Sie hat ja einen Ortsvektor und 2 Richtungsvektoren.

17.06.2011, 21:12

Dopap

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von tito
...
Warum ist E1 Ebene unvollständig ? Sie hat ja einen Ortsvektor und 2 Richtungsvektoren.

sollte aber links mit $\begin{eqnarray*} \vec x= \end{eqnarray*}$ beginnen, sonst liegt keine Funktionsvorschrift vor.
(steht so auch in meiner ersten post )

17.06.2011, 22:15

riwe

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RE: Schnittgerade zweier Ebenen

Zitat:

Original von tito

Zitat:

Original von riwe
setze E1 in E2 ein, dann kannst du einen der beiden parameter durch den anderen ausdrücken
rückeinsetzen in E1 -> schnittgerade

Das ist ja das Problem. Wie tue ich das ?

ganz einfach so:

$\begin{eqnarray*} 2(2+2\lambda -\gamma )-(2+\lambda+\gamma)+....=0 \end{eqnarray*}$

wozu sind deine indizes verwirrt

nebenbei: diese methode ist im konkreten fall sicher viel einfacher als der weg über das kreuzprodukt.
aber manche besserwisser wissen es halt immer besser unglücklich

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