Diagonalisierbarkeit - Trigonalisierbarkeit |
| 13.12.2006, 23:26 | TobeStar81 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Diagonalisierbarkeit - Trigonalisierbarkeit ich habe ein kleines Detailproblem: Ich habe eine folgende Definitionen: a) Diagonalisierbarkeit Sei V ein K-VR, F ein Endomorphismus von V. F heisst genau dann diagonalisierbar, wenn die direkte Summe der Eigenräume gleich V ist. D.h. wenn es eine Basis von V gibt, die sich aus Eigenvektoren von F zusammensetzt. oder analog: F ist genau dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom von F in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt. b) Trigonalisierbarkeit Sei V ein K-VR, F ein Endomorphismus von V. F heisst genau dann trigonalisierbar, wenn es eine Fahne von F-invarianten Unterräumen gibt. oder analog: F ist genau dann trigonalisierbar, wenn das Minimalpolynom von F in Linearfaktoren zerfällt. So, nun zu meinem verständnisproblem. Die Definitionen über das Minimalpolynom sind nur in endlichdimensionalen Vektorräumen mgl., da ansonsten kein Minimalpolynom existiert. Ebenso meines Erachtens die Trigonalisierbarkeitsdefinition über die Fahne von F-invarianten Unterräumen (zur Erinnerung eine Fahne ist eine Reihe von Unterräumen U(i), wobei U(0)={0}, U(n)={V}, U(j) echte Teilmenge von U(j+1) und dim(U(j))=j), da hier ein höchster Unterraum U), da eine Fahne ebenfalls nur über einen endlichen Vektorraum definiert ist. Anders ist es jedoch mit der Diagonalisierbarkeitsdefinition über die Basis aus Eigenvektoren. Diese würde meiner Meinung nach auch in einem unendlichen Vektorraum funktionieren (ob man diese Eigenvektoren bestimmen kann, da ja kein charakteristisches Polynom aufgestellt werden kann, sei mal dahingestellt), da Eigenwerte und Eigenvektoren nach Gerd Fischer auch auf unendlich dimensionalen VR definiert sind. Darüber hinaus kann es auch unendliche Basen geben. Nun ist jedoch das Dilemma: Sei V ein K-VR, F ein Endomorphismus. Sei F weiterhin diagonalisierbar (also in einem unendlichen VR) => F ist trigonalisierbar (also auch in einem unendlichen VR). Somit wären die obigen Definitionen von a) und b) meiner Meinung nach nicht wohldefiniert (wie der Mathematiker wohl sagen würde). Leider umschifft Gerd Fischer das Problem irgendwie und erwähnt es nie. Ich wäre glücklich, wenn mir jemand, der schlauer ist als ich, mir mein kleines Problemchen aufklären könnte =) Erst mal schon einmal vielen Dank und Gruß TobeStar81 |
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| 15.12.2006, 00:41 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Frage ist wie stellst Du dir einen Endomorphismus in unendlichdimensionalen VR in diagonalegestallt vor? In desem Fall müsste man sich wohl auf die Eigenschaften von diagonalen Endomorphismen beschränken. Nun was können Diagonalmatrizen: Diagonalmatrizen sind kommutativ bezüglich Multiplikation. Das heißt für diagonale Endomorphismen f,g muss gelten: Die Einträge sind die Eigenwerte, hier fängt es an wie sehen die Einträge in einer unendlichen Darstellung aus? Es gibt durchaus unendliche Dimensionale Endomorphismen deren Eigenvektoren eine Basis bilden, nimm zum Beispiel die Identität auf C[0,1]. Die Basis dieses Raumes kennst Du sicher und die Standartbasis in diesem Raum ist auch das was man am ehesten eine Diagonalform nennen könnte. Bis auf ein ein Intervall sind die Funktionalwerte 0 und ansonsten stetig bis zur eins (sind Nullfunktionen mit einem Zacken drin). Tja und die 1 ist genau der einzige Eigenwert der Identität. Das heißt wendest Du die Identität auf eine bel. Funktion aus C[0,1] an kannst Du dir die Basis nehmen und die Funktion mittels dieser Basis abbilden. Soweit ich das sehe ist Diagonalisierbarkeit nur für endlichdimensionale Endomorphismen definiert, eine sinnvolle Diagonaldarstellung für unendlichdimensionale kann ich zwar nicht ausschließen kenne ich aber hier auch nicht. Nun zur Wohldefiniertheit: Das ist eine Eigenschaft von Funktionen und bedeutet im wesentlichen das die Funktion unabhängig vom Repräsentanten ist. Ein aktuelles Beispiel von mir ist in etwa eine Funktion die einer geometrischen Figur, etwa einem Würfel den Inhalt zuordnet. Dann sollte es natürlich egal sein ob ich den Würfel direkt Messe oder den Würfel in abzählbar unendlich viele disjunkte Teile zerlege und diese dann aufaddiere. Insofern versteh ich nicht was Du hier mit der Wohldefiniertheit meinst? |
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