Welche Zahl ergibt quadriert i ?

Neue Frage »

Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Zahl ergibt quadriert i ?
Hallo,

ich möchte wissen, welche Zahl(en) erfüllt/erfüllen.

Dabei meine ich mit die beiden Lösungen der Gleichung (konjugiert Komplexe Lösungen).

Also suche ich (kann man das so sagen?)

Dazu habe ich diese PDF Datei hochgeladen:

Edit (mY+): Bitte keine PDF's, hänge lieber die Grafik an den Beitrag an!

[attach]20165[/attach]

Müsste man dazu nicht noch eine Fallunterscheidung machen?
Ist mein Vorgehen ansonsten korrekt?

Danke.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die 4. Potenz aufzusteigen, ist unzulässig, denn dann würden sich anstatt 2 Lösungen deren 4 ergeben. Die zugehörige Gleichung zu der Angabe lautet



Dies ist eine Kreisteilungsgleichung und kann z.B. so gelöst werden, indem i in einer anderen Schreibweise dargestellt wird ... . Sind dir solche bekannt?

mY+
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt leider nicht.

Ich habe das mit 2 Gleichungssystemen gemacht, wie man hier in der angehängten Grafik sehen kann.
[attach]20167[/attach]

Wie ist nun eigentlich genau definiert?
Ist es nun, dass die Gleichung erfüllen muss (dann gäbe es 2 Lösungen, konjugiert komplexe Zahlen: oder ) oder ist definiert?

Danke schonmal.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Letzteres. i ist also NICHT als Lösung der Gleichung, sondern in der dir bekannten Zahlenpaar-Form als (0; 1) definiert, so ist es. Daraus folgt nun die Eigenschaft der nicht reellen Zahl i:


_____________

Deine Lösung der Gleichung ist übrigens richtig.

mY+
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke sehr.

Damit wäre meine Frage ja schon beantwortet.
Oder gibt es noch eine andere Zahl , für die gilt ?
Gibt es hier 2 Lösungen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, selbstverständlich gibt es zwei Lösungen der Gleichung, nämlich jene mit den positiven Real- und Imaginärteilen und jene mit den negativen.
Es ist wie bei den Gleichungen im Reellen: Der Grad der Gleichung bestimmt die Anzahl der Lösungen.

Auch mit der Kreisteilung ist das zu verstehen: Die Zeiger der beiden Lösungen liegen um (180°) zueinander versetzt.
Die erste Lösung hat den Winkel (45°), die zweite den Winkel (225°) mit der positiven reellen Achse. Der Betrag beider Lösungen ist 1.

mY+
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also, wenn ich (konjugiert) berechne, erhalte ich .


Der Betrag der Ergebnisse mag ja gleich sein (Zeigerlänge), aber komplexe Zahlen sind doch gleich, wenn (und nur wenn) sie im Realteil übereinstimmen und im Imaginärteil übereinstimmen... (?)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da wird NICHTS konjugiert! Deswegen ist's ja dann auch falsch.
Die beiden Lösungen sind





Mit denen sollst du jetzt die Probe machen.

mY+
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt klappts.

Du hast ja auch schon vorher gesagt: Real und Im-Teil positiv, oder beide negativ.

Verstehe ich das mit der Kreisteilung richtig, dass der Zeiger um 180° gedreht wird, damit Realteil und Imaginärteil seine Vorzeichen tauschen?

Aber was haben die Zahlen gemeinsam?
[attach]20168[/attach]
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
i ist also NICHT als Lösung der Gleichung, sondern in der dir bekannten Zahlenpaar-Form als (0; 1) definiert, so ist es.


Einspruch. Das ist eine Möglichkeit. Die andere Möglichkeit ist sehr wohl die Definition über die Lösung der Gleichung. Welche man hier nimmt ist egal, da das Resultat in beiden Fällen gleich (isomorph) ist. Siehe auch den letzten Absatz hier.

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Den gleichen Betrag und dass die eine Zahl die negative andere ist.

mY+
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Und sie haben das selbe Quadrat ist mir gerade aufgefallen...

Edit:



Edit2:
Wie könnte man zeigen, dass das Ergebnis (welches meinst du jetzt) in beiden Fällen gleich ist? Damit beziehe ich mich auf den Kommentar von Air.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Air: Stattgegeben Big Laugh , die Definition ist: , das habe ich mit der Gleichung



verwechselt, welche zwei Lösungen hat.

@Pascal

Deine Gleichung hat zwei verschiedene Lösungen, nach wie vor.
Der Einspruch von Air bezog sich auf die Definition von i.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Wie könnte man zeigen, dass das Ergebnis (welches meinst du jetzt) in beiden Fällen gleich ist? Damit beziehe ich mich auf den Kommentar von Air.


Führe einen Isomorphismus (also eine bijektive Abbildung) ein. Schwer sollte das nicht sein, denn er bietet sich geradezu an. Augenzwinkern
Aber auch ohne Beweis liegt es eigentlich nahe, nachdem man ja zwei Lösungen hat, die erstmal nicht weiter identifiziert werden können und man einer von beiden einfach einen Namen gibt, aber ja nicht "steuern" kann, welche von beiden man nun meint (sowas wie Positivität gibt es ja nicht). Auch in der Schreibweise mit (0,1) macht es Sinn. Die Alternative ist dann eben (0,-1), was anschaulich soviel bedeutet wie dass du die imaginäre Achse runterklappst. Dass das an der Theorie nichts ändern wird liegt irgendwie nahe. Augenzwinkern

Es gibt übrigens sogar noch viel mehr Möglichkeiten, die komplexen Zahlen einzuführen.

air
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist ja und , da ich gezeigt habe, dass sich das Quadrat von und nicht unterscheidet.

Trotzdem ist mir noch nicht ganz klar, welches Resultat von Air gemeint war...
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Dann ist ja und , da ich gezeigt habe, dass sich das Quadrat von und nicht unterscheidet.


Nein, das stimmt nicht, denn aus folgt ja nicht . Schon im Reellen nicht.

@ mY+

Bevor's zu wirr wird gebe ich wieder an dich ab. Wollte eigentlich ja auch nur kurz die Anmerkung loswerden.

air
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir aber sagen, sei die komplexe Zahl, die mit sich selbst multipliziert die reelle Zahl ergibt, so gibt es für die zwei Lösungen und .

Denn und erfüllen die Gleichung .

Allgemein wollte ich nicht zeigen, dass gilt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Wenn wir aber sagen, sei die komplexe Zahl, die mit sich selbst multipliziert die reelle Zahl ergibt,


Das sagt aber keiner. Man sagt, i sei eine (der beiden) Zahlen, die quadriert -1 ergibt.

Im Reellen kann ich ja auch sagen: x sei eine Zahl, für die x²=4 gilt. Daraus folgt ja auch nicht -2=2.

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da kann ich dich nur wieder auf den o.a. Beitrag von Air verweisen, dieser sagt doch alles.
In der Praxis gibt es natürlich nicht zwei "verschiedene i", definitionsgemäß wird für eines entschieden, und das ist (0, 1).

Wenn (bei bereits wohldefiniertem i) wiederum nur die komplexe (Kreisteilungs-)Gleichung



zu lösen ist, dann hat sie die beiden Lösungen



mY+
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gibt es zwei Möglichkeiten (zwei Lösungen der Gleichung ).

Dass man dann nicht gleich folgern darf, ist mir schon klar.

Ich möchte mich nur vergewissern, dass also 2 Möglichkeiten hat und beide sinnvoll sind und man mit beiden gleichermaßen weiterrechnen kann ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bereits gesagt, man rechnet nicht abwechselnd nach Belieben mit beiden. Es wurde per defintionem für eines entschieden - (0; 1).

Obgleich Positivität oder Negativität im Komplexen nicht jene Bedeutung haben, wie im Reellen, bestimmen die Vorzeichen der komplexen Zahlen und insbesondere jene der Real- und Imaginärteile die Richtung der Zeiger. Und im Sinne der Permanenz der formalen Rechengesetze wird mit den Vorzeichen ebenso gleich gerechnet wie bisher.

mY+
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke sehr.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »