frage zu aufgaben: abelsche gruppen

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armin.r Auf diesen Beitrag antworten »
frage zu aufgaben: abelsche gruppen
hi, ich häng jetzt eine ganze weile an zwei aufgaben, bei denen ich mir sehr unsicher bin, wie ich sie angehen soll.
eigentlich bin ich mit dem ganzen thema noch nicht so sicher und ist auch das erste übungsblatt zu Gruppen etc.

also die erste Aufgabe)

Es sei M eine nichtleere Menge und deren Potenzmenge.
Zeigen Sie: Zusammen mit der Verknüpfung definiert durch

ist eine abelsche Gruppe. (Hinweis: Die assoziativität können Sie als gegeben annehmen.)


zweite Aufgabe)

Zeigen Sie: Zusammen mit der Addition , definiert durch [a]+[b]:=[a+b], ist eine abelsche Gruppe. (Hinweis: vergessen Sie nicht zu zeigen, dass + eine Verknüpfung auf ist!)

so zu erst hoffe ich das mein latex code halbwegs stimmt, denn hab das bisher nie benutzt und grad mit hilfe des formeleditiors versucht alles nötige darzustellen....

zur ersten:
um eine abelsche Gruppe zu beweisen, muß ich ja das neutrale Element zeigen und die kommutativität nachweisen.
ich ab mir die bedingungen für eine Gruppe angeschaut und für die abelsche Gruppe.
Wenn ich das durchgeh komm ich schon in schwierigkeiten.
das neutrale element kann ja nur die leere menge sein, oder?
dann soll zu jedem x ein inverses existieren, das mit sich selbst addiert das leere element ergibt. das kann ich mir schon gar nicht mehr erklären.
zum schluss noch die kummutativität.
alles in allem bin ich mir also nicht sicher ob ich auf dem richtig weg bin und wie ich das zeigen soll. in den letzten übungsblättern waren oft auch fehler in der art der schreibweise. evt könnt ihr mir dazu auch ein paar tips geben....
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: frage zu aufgaben: abelsche gruppen
Du hast recht. Neutrales Element ist die leere Menge.

Kommutativität sollte nicht schwer sein. Das folgt aus der Kommutativität der Mengenrelationen Durchschnitt und Vereinigung.

Zu den Inversen. Was musst du für gegebenes A in diese Gleichung für X einsetzen: A+X=Leere Menge.
Mach dir das am besten für die Potenzmenge von {1,2,3} klar.
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

also zu den inversen:
wenn A+X=Leere Menge gelten muß. und A ist eine Teilmenge, zB die 3, dann haut das doch nicht mehr hin, oder? bräuchte ja dann eine Teilmenge die die gleichen elemente (in dem fall nur das eine, die 3) hat, nur mit anderem vorzeichen...
oder hab ich das ganze system flasch verstanden?

edit:
das kann also nur gehen wenn und somit nur die enthält, oder eben alle ander zahlen, ausser die oder?

zur kommutativität: es ist klar das schnitt und vereinigung kommutativ sind, muß ich das auch noch beweisen? oder reicht es es zu sagen.
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das schon richtig erkannt. Es gilt A+A={}, also ist bzgl. dieser Operation jede Teilmenge von zu sich selbst invers.
Man kann somit auch schreiben: -A=A.

Edit: Mit dem herkömmlichen Vorzeichen in dem Beispiel hat das allerdings nichts zu tun, denn die kommen ja von der Addition reeller Zahlen.
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Divergenz
Du hast das schon richtig erkannt. Es gilt A+A={}, also ist bzgl. dieser Operation jede Teilmenge von zu sich selbst invers.
Man kann somit auch schreiben: -A=A.

Edit: Mit dem herkömmlichen Vorzeichen in dem Beispiel hat das allerdings nichts zu tun, denn die kommen ja von der Addition reeller Zahlen.



super vielen dank, und ich dachte schon ich wäre auf dem holzweg...
kann ich dann auch schreiben ? drück ich damit überhaupt aus was ich sagen will, also das das inverse das gleiche element mit dem anderen vorzeichen ist?
da wären wir wieder bei dem thema notationen und ihre formalen fehler Big Laugh
ich werde mal versuchen die aufgabe dann jetzt richtig zu lösen
und mal ins reine zu schreiben
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »

Da es sich um das Inverse einer Addition (Operation ist als + definiert) schreibt man es i.d.R. mit einem Minus. Deine Notation ist die Übliche bei einer Multiplikation. Da du nur eine Gruppe betrachtest, wäre das jetzt nicht unverständlich, wenn du die Notationen mischst, schön und korrekt ist es allerdings nicht. Richtig wichtig das auseinanderzuhalten wird es spätestens bei Körpern, da du hier sowohl eine Addition als auch eine Multiplikation hast.
 
 
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab ich auch grad im hachenberger gelesen, meine lösung schaut dann ca wie folgt aus:

Da für die Assoziativität gegeben ist, ist eine Halbgruppe.

Beweis das eine Gruppe ist:

, da die Leeremenge in jeder Menge ist und


und
zu zeigen:

da


für die abelsche Gruppe muß ausserdem gelten:



Da und


ist abelsch

so was muss ich verbessern das es komplett ok ist und so abgegeben werden kann? muß ich noch zeigen das schnittmenge und vereinigung kommutativ sind?
vielen dank im vorraus schon mal
armin runge


edit:
zur zweiten aufgabe hab ich mir jetzt auch gedanken gemacht.
also das + eine verknüpfung auf ist zeige ich in dem ich die abgeschlossenheit zeige, richtig?
also a und b sind in Z dann sind es auch a+b, oder?
aber wie beweise ich das? oder ist das nicht nötig noch weiter zu beweisen?

edit die zweite:
meine bisheringen ideen:

ich muß erst mal zeigen das eine verküpfung auf ist.
also wenn richtig?
da und
muß auch sein
reicht das oder muß ich das verändern?

dann beweis ich das es eine Gruppe ist:
Assoziativität:
zu zeigen ist:
dann hab mit der Def.

da
sollte das gelten
auchh hier: was muß ich da ändern bzw verbessern?

zu zeigen das Neutraleelement:
da in jeder Menge vorkommt, kommt es auch in vor


zu zeigen das es zu jedem element ein inverses gibt:
da usw usw. hab ich genau wie in der aufgabe oben aufgebaut, aber wortwörtlich fast...

zu zeigen für eine abelsche Gruppe:

laut Def der Aufgabe:

hab ich für

und über der aufgabe war noch eine weiter def. die wie folgt lautet:

daruas hab ich dann geschlossen:



Auf diese Aufgabe gibt es fast ein viertel der Gesamtpunkte
kann also noch nicht alles sein. sagt mir bitte was totaler *** ist und was ich noch ändern bzw lassen kann
vielen dank nochmals im vorraus Big Laugh
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

zu (1) stimmt so in etwa. Ich würd vielleicht noch explizit ausführen, wieso a = -a gilt.

zu (2) Ich bin mir nicht sicher, was du da tust? Ich kenne Z_n als Menge der Restklassen modulo n. Ist das damit gemeint? Falls ja, was machst du mit der Leeren Menge usw...
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ArminTempsarian
zu (1) stimmt so in etwa. Ich würd vielleicht noch explizit ausführen, wieso a = -a gilt.

zu (2) Ich bin mir nicht sicher, was du da tust? Ich kenne Z_n als Menge der Restklassen modulo n. Ist das damit gemeint? Falls ja, was machst du mit der Leeren Menge usw...



ok, wie führe ich a=-a denn explizit aus?
also ich weiß nicht wie ich das noch beweisen soll oder schreiben...


zu 2. ja genau, ist damit gemeint.
deshlab auch diese rechnung mit der def. auf dem blatt, siehe ende der aufgabe.
würde es helfen wenn ich die aufgabenstellung online stelle?
ich habe versucht einfach eine abelsche gruppe zu beweisen, ab wo wirds denn nicht mehr nachvollziehbar?
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja zb folgendes:

Zitat:
zu zeigen das Neutraleelement:
da in jeder Menge vorkommt, kommt es auch in vor


zu zeigen das es zu jedem element ein inverses gibt:
da usw usw. hab ich genau wie in der aufgabe oben aufgebaut, aber wortwörtlich fast...


Ist damit die leere Menge gemeint? Du solltest dir klar machen, welche Elemente Z_n enthält. z.B enthält Z_3 die Restklassen 0,1,2. Diese 0 ist aber nicht die leere Menge.

Dass das inverse Element gleich es selbst ist, stimmt im allgemeinen auch nicht. Mach dir das anhand von Z_3 klar. Was ist dort das Inverse zu 2, also für welches x gilt 2+x=x+2=0?
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn alle Z_n die 0 enthalten, ist es die null und nicht die leere menge. also die null ist das neutrale element, oder?
wie kann ich argumentieren das die null in jeder restklasse ist?


für zwei in Z_3 ist das inverse doch wieder die -2 oder nicht?
also für jedes element sein negatives, was in den ganzen zahlen ja vorkommet...
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie kann ich argumentieren das die null in jeder restklasse ist?


Na ja: Offensichtlich gibt es für alle n ein a, sodass



Das heißt im Prinzip doch nur; jede ganze Zahl kann man multiplizieren.

Zitat:
für zwei in Z_3 ist das inverse doch wieder die -2 oder nicht?


OK. So gesehen stimmt das. Bin nur gewohnt Z_3 als diese Menge anzusehen {0,1,2}. Wenn man aber beachtet, dass

und

stimmt das schon so.

Es stimmt nur dann nicht, wenn du denkst, 2 und -2 wären "das Gleiche", wie das im ersten Beispiel der Fall war. Sie sind es nämlich nicht.
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich wollte nur die notation beibehaltn für das inverse,
kann also schreiben -2+2=0 oder?
ich hab eigentlich wenn überhaupt nur sehr selten mal volle punktzahl in einer aufgabe weil ich diese schreibweisen noch nicht so 100% richtig drauf hab.
gibt es noch was was ich anders formulieren sollte, damit es dem korrekotor klar ist?
weil du schreibst ja auch "stimmt so in etwa"
und genau das ist es glaube ich was sich die korrektoren immer denken, wenn ich denk es ist endlich mal ok... Big Laugh
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

Also das erste stimmt, wenn du, wie gesagt, noch ausführst, wieso M=-M (einfach in die Defintion deiner Additionsoperation einsetzen).

was das zweite befrifft, hab ichs mir nicht so genau durchgesehen, und muss jetzt leider weg. Kanns mir leider erst am abend genau durchsehen.
was heißt das z.b

Zitat:
und über der aufgabe war noch eine weiter def. die wie folgt lautet:


?
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »



und dann steht noch da: es gilt
daher ist


Zitat:
Also das erste stimmt, wenn du, wie gesagt, noch ausführst, wieso M=-M (einfach in die Defintion deiner Additionsoperation einsetzen).


meinst du damit:




für z könnte ich ja auch -x einsetzen, ist ja laut meinen def. das selbe
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin total verwirrt....
ist bei der 39) das inverse element zu a jetzt -a
oder die zahl die ein vielfaches von sich ist? also das dann modulo irgendwas =0 rauskommmt?
ich hab keine ahnung mehr, HELP
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

zu (1) Ja, so war das gemeint:



also gilt für alle X: X ist sein eigenes Inverses: X= -X

zu (2) sehen wir uns mal Z_3 an: Die Menge besteht aus den Elementen:

[0], [1], [2]; wobei gilt:

[0] = {0, 0+1*3, 0+(-1)*3, 0+2*3...} = {0, 3, -3, 6...}
[1] = {1, 1+1*3, 1+(-1)*3, 1+2*3...} = {1, 4, -2, 7...}
[2] = {2, 2+1*3, 2+(-1)*3, 2+2*3...} = {2, 5, -1, 8...}

Die Elemente in der Mengenklammer sind Repräsentaten der jeweiligen Äquivalenzklasse. Und Äquivalenzklassen sind die Elemente der betrachteten Gruppe Z_3. Alle Repräsentanten der jeweiligen ÄK sind zueinander äquivalent (no na).

Nimm z. B die 1. Das ist ein Element aus der ÄK [1]. Offenbar gilt z. B. 1+2=3. Die 2 gehört zur ÄK [2] und die 3 zur [0]. D.h. [1]+[2] =[0].

Wesentlich ist: [2] (d.h. die Äquivalenzklasse, nicht der Representant 2) ist das Inverse zu [1]. Du kannst die ÄK [2] natürlich auch -[1] nennen (soweit ich weiß,tun das auch einige), du solltest dabei nur im Auge behalten, dass die Elemente von Z_n Klassen (also im Prinzip Mengen) sind. Das war jetzt aber nur ein Beispiel.

Du sollst erst zeigen, dass es von den [0], ..., [n-1] für alle Elemente und beliebiges n ein Inverses gibt!

EDIT: Hinweis: Verwende die Def. deiner Addition und die Tatsache, dass [n]=[0]


Zur Assoziativität:
Es gilt:
([a]+[b])+[c]=[a+b]+[c]=[a+b+c]=[a+(b+c)]=[a]+([b+c])=[a]+([b]+[c])

Hoff ich hab nichts vergessen.
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

hi, super das du dir so spät noch mal zeit genommen hast.

also ich hab bei der 2) stehen:

das neutrale element ist [0] da n mod n = 0
und das inverse ist bei Z_n: (a+(n-a)) kongruent 0 mod n
und daruas folgt das inverse zu a ist n-a

klingt alles noch ein wenig dürftig find ich
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

Steh normalerweise um diese Zeite erst auf! Augenzwinkern

Zitat:
klingt alles noch ein wenig dürftig find ich


Na ja, is ja auch in der Tat nicht viel zu tun.
armin.r Auf diesen Beitrag antworten »

hehe, muß ich evt noch zeigen warum diese drei zeilen so lauten wie sie lauten?

wie gesagt in den letzen übungen hab ich immer mind. 30% durch falsche notation verschenkt.
ArminTempsarian Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. Also, wie genau ihr das nun anschreiben sollt, kann ich dir auch nicht sagen.

Aber es sollte reichen, wenn du das z.B wie folgt notierst:



sodass

es gilt:

Da für alle a € Z_n auch (n-a) € Z_n, folgt, dass Jedes a ein Inverses besitzt.

Nun sollten auch die letzten Zweifel beiseitigt sein, nicht? Wink
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