Extremwertaufgabe mit Hyperbel und Gerade

18.06.2011, 11:36

mango2

Extremwertaufgabe mit Hyperbel und Gerade

Meine Frage:
Die Hyperbel 4x^2 - 25y^2 = 100 wird durch die Gerade x = 10 geschnitten. In dem entsprechenden Hyperbelabschnitt ist das Rechteck von größtem Umfang einzubeschreiben. Wie groß ist der Umfang?

Meine Ideen:
Meine Hauptbedingung ist U = 2(a+b). Für meine Nebenbedingung habe ich angenommen dass der Punkt P des Rechtecks auf der Hyperbel liegt und die Koordinaten (10-b) / a/2) hat. Den Punkt P hab ich dann in die Ellipsengleichung eingesetzt und so a^2 ausgedrückt. Dann hab ich a^2 in die Hauptbedingung eingesetzt und jetzt krieg ich aber für b = 3,9024 heraus. Kann das stimmen oder hab ich die Nebenbedingung doch falsch?

18.06.2011, 12:05

Elvis

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Die Idee scheint richtig zu sein, sollte funktionieren, also warscheinlich ein Rechenfehler. Bitte vorrechnen, dann rechne ich nach dem Mittagessen nach. Übrigens setzt du in die Hyperbelgleichung ein, nicht in die Ellipsengleichung - hoffentlich.

18.06.2011, 12:30

mango2

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ach ja richtig Hammer

hab natürlich die hyperbelgleichung gemeint

also: so hab ichs gerechnet:
1) die hyperbelgleichung dividiert durch 100
4x^2/100 - 25y^2/100 = 1 => x^2/25 - y^2/4 =1

2) den Punkt P (10-b / a/2) eingesetzt :
(10-b)^2/25 - a^2/16 = 1

3) dann auf den gleichen Nenner 400 gebracht:
16(10-b)^2 - 25a^2 = 400

4) ausgerechnet:
1600 - 320b + 16b^2 - 25a^2 = 400 => a^2 = (1200 - 320b + 16b^2)/25 und a ist dann die Wurzel daraus

Jetzt habe ich a in die vereinfachte Hauptbedingung eingesetzt indem ich den 2er davor weggelassen habe:
U (b) = sqrt((1200-320b+16b^2)/25) + b

dann quadriert:
U (b^2) = ((1200 - 320b + 16b^2 )/ 25) + b^2
= 1200 - 320b + 41b^2

U' = 82b - 320
U' = 0

82b - 320 = 0
82b = 320 => b = 3,9024..

18.06.2011, 13:04

Elvis

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U/2=U(b) stimmt noch, aber wenn du das quadrierst, musst du die binomische Formel benutzen.

P.S.: Ich weiß auch noch nicht, wie es dann weitergeht und ich habe noch keine Lösung der Aufgabe. verwirrt

Wolfram Alpha behauptet, die Funktion habe bei b=5/3 ein lokales Maximum, das nützt uns aber gar nichts. Haben wir uns verrechnet ???

18.06.2011, 13:35

mango2

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okay danke

wenn ich das quadriere nach der binomschen Formel krieg ich aber das raus:

(1200 - 320b + 16b^2) / 25 + 2b * sqrt ((1200 - 320b + 16b^2) / 25) + b^2

und da kenn ich mich dann nicht mehr aus wie ich das weiter vereinfachen soll damit ich das dann auch ableiten kann?

jap hab das auch mal bei wolfram alpha eingegeben, und da ist auch so was komisches raus gekommen.
wobei die nebenbedingung ja eigentlich stimmen sollte weil eine andere kann ich da einfach nicht finden... grübel unglücklich

18.06.2011, 15:37

riwe

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U=14

ohne komplikationen
ob´s stimmt, wissen wie üblich nur die götter - hier und anderswo

edit: wenn ich das zeug richtig interpretiert habe, siehe bilderl

18.06.2011, 17:26

mango2

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@riwe: also hast du eine etwas andere Hauptbedingung .. dass das so einen großen Unterschied macht hab ich nicht gewusst smile

aber irgendwie mach ich noch immer etwas falsch ... ich bekomme seltsamerweise nur 36 raus ? wahrscheinlich ein Rechenfehler aber könntest du mir doch noch sagen wie genau du das ausgerechnet hast?
ist l = 10 ?

18.06.2011, 21:32

riwe

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meine idee:

sei $\begin{eqnarray*} P(5<x<10/y) \end{eqnarray*}$ ein punkt der hyperbel

dann beträgt der umfang:

$\begin{eqnarray*} U(x,y) =2(10-x+2\cdot y)\to max \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x=\frac{25}{3}\wedge y=\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

was soll den 36 sein verwirrt

19.06.2011, 11:14

mango2

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ja das versteh ich schon
ich werde mal meine Rechnung hier aufschreiben:

P(10-x/y) in NB eingesetzt:=> $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{0,16x^2 - 3,2x + 12} \end{eqnarray*}$

und das setz ich in deine HB ein: $\begin{eqnarray*} U(y) = 2(10 - x + 2y) \end{eqnarray*}$ und den 2er kann ich ja weglassen damits vereinfacht ist

ist dann:
$\begin{eqnarray*} U(y) = 10 - x + 2 \cdot \sqrt{0,16x^2 - 3,2x + 12} \end{eqnarray*}$

und die Wurzel leit ich ganz normal ab und am Ende bekomm ich für x = 10 heraus
und das kann nicht stimmen weil : $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{16-32+12} \end{eqnarray*}$ ist und y wär dann die Wurzel aus einer negativen Zahl

ich weiß nicht was ich falsch mach?

19.06.2011, 12:51

mango2

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hoppla hab natürlich U(x) gemeint nicht U(y) ...

19.06.2011, 13:06

riwe

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Zitat:

Original von mango2
ja das versteh ich schon
ich werde mal meine Rechnung hier aufschreiben:

P(10-x/y) in NB eingesetzt:=> $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{0,16x^2 - 3,2x + 12} \end{eqnarray*}$

und das setz ich in deine HB ein: $\begin{eqnarray*} U(y) = 2(10 - x + 2y) \end{eqnarray*}$ und den 2er kann ich ja weglassen damits vereinfacht ist

ist dann:
$\begin{eqnarray*} U(y) = 10 - x + 2 \cdot \sqrt{0,16x^2 - 3,2x + 12} \end{eqnarray*}$

und die Wurzel leit ich ganz normal ab und am Ende bekomm ich für x = 10 heraus
und das kann nicht stimmen weil : $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{16-32+12} \end{eqnarray*}$ ist und y wär dann die Wurzel aus einer negativen Zahl

ich weiß nicht was ich falsch mach?

das ist doch plunder geschockt

liest du nicht, was ich geschrieben habe.

$\begin{eqnarray*} P(10-x/y) \end{eqnarray*}$ liegt doch nicht auf der kurve sondern $\begin{eqnarray*} P(x/y) \end{eqnarray*}$

daher

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2}{5}\sqrt{x^2-25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=10-x+2\cdot\frac{2}{5}\sqrt{x^2-25}\to max \end{eqnarray*}$

und jetzt sollte das werk gelingen Augenzwinkern

19.06.2011, 13:06

riwe

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Zitat:

Original von mango2
hoppla hab natürlich U(x) gemeint nicht U(y) ...

das macht es auch nicht richtiger, siehe meinen beitrag

19.06.2011, 13:16

mango2

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danke, jetzt versteh ich's endlich! eigentlich total logisch

bin wohl auf der leitung gestanden *g

dankeschön, hat mir echt geholfen Wink

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