Volumen eines Kegelstumpfs berechnen mit Hilfe eines Dreifachintegrals

18.06.2011, 13:43

magoroth

Volumen eines Kegelstumpfs berechnen mit Hilfe eines Dreifachintegrals

Hey leute,

ich soll das Volumen eines Kegelstumpf ausrechnen der durch folgende Ungleichungen gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} x²+y²\leq z² und 1\leq z\leq 2 \end{eqnarray*}$

Kann mir einer sagen wie ich anfangen soll und welche Koordinaten ich benutzen muss, Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten?

Liebe Grüße

Stefan

18.06.2011, 15:47

magoroth

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weiß da einer weiter?

18.06.2011, 16:24

Dopap

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schau dir mal meine post zu deinem anderen Thread - masse von rotationssymmetrischen Körper- an, vielleicht hilft das schon weiter.

18.06.2011, 17:25

magoroth

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srry aber finde den nicht :/

18.06.2011, 18:15

magoroth

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also eine integrationsgrenze habe ich ja durch
$\begin{eqnarray*} 1\leq z\leq 2 \end{eqnarray*}$ schon erschlagen.
dann kann ich durch die Rotation ja auch annehmen, dass
$\begin{eqnarray*} 0\leq \beta \leq 2\pi \end{eqnarray*}$ ist.

Nun muss ich bloß noch mein r bestimmen und da komme ich nicht weiter :/

18.06.2011, 18:44

magoroth

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Meine Überlegung ist:

Ich habe ja :
$\begin{eqnarray*} x^2 +y^2\leq z^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\leq z\leq 2 \end{eqnarray*}$

Damit kann ich doch sagen:

$\begin{eqnarray*} x^2 +y^2\leq r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

da z von

$\begin{eqnarray*} 1\leq z\leq 2 \end{eqnarray*}$ läuft und ich diese werte in
$\begin{eqnarray*} z^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ einsetze bekomme ich

$\begin{eqnarray*} 1\leq r\leq 2 \end{eqnarray*}$

Damit habe ich alle Integrationsgrenzen:

$\begin{eqnarray*} 1\leq z\leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\leq r\leq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\leq \beta \leq 2\pi \end{eqnarray*}$

ist das korrekt?

18.06.2011, 20:22

Dopap

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Zitat:

Original von magoroth
srry aber finde den nicht :/

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mit den Grenzen seh ich auch so.
Jetzt ist nur die Frage ob man Zylinderkoordinaten verwendet oder nicht.
Ich meine eher nicht ( aber zu Übungszwecken schon )
Das Ganze geht doch auch 2 D-dimensional ( in x-y) wie in der Schule, indem man die Randfunktion um die y-Achse rotieren lässt. Also f(x)=x mit 1<=x<=2. Die entsprechenden y-Grenzen sind auch 1 und 2.
Das Differential ist dann eine Zylinder der Dicke dy

dv=pi*x^2*dy oder

$\begin{eqnarray*} V=\int _1^2 \pi x^2 \dd y = ... \end{eqnarray*}$

wichtig ist, dass man selbstständig irgendwie die Lösung findet.

19.06.2011, 00:28

magoroth

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$\begin{eqnarray*} V=\int_1^2 \int_1^2 \int_0^{2\pi}r \dd \beta \dd r \dd z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_1^2 \int_1^2 r\left[\beta \right]_{0}^{2\pi} \dd r \dd z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_1^2 2\pi \left[\frac{1}{2}r^2 \right]_{1}^{2} \dd z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 3\pi \left[z\right]_{1}^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 3\pi \end{eqnarray*}$

Das Volumen eines Kegelstumpfs lässt sich allerdings ja auch mit der unteren Formel ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} V \, = \, \frac{h \cdot \pi}{3} \cdot (R^2 + R \cdot r + r^2) \end{eqnarray*}$

danach wäre aber ja das Volumen $\begin{eqnarray*} \frac{7}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Ist mein Ergbnis, welches ich über die Integration ausgerechnet habe falsch?

19.06.2011, 01:40

Dopap

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damit keine Unordnung aufkommt:

1.) zuerst das von mir Vorgeschlagene rechnen und dann folgt der Rest. Lehrer

$\begin{eqnarray*} V=\int _1^2 \pi x^2 \dd y =\int _1^2 \pi y^2 \dd y=\frac 7 3 \pi \end{eqnarray*}$

Warum? wo wurde hier die Substitutionsregel verwendet?

2.) nach Formel gilt ebenfalls V=7/3*pi

[Vorsicht mit dem Buchstaben r in der Formel, der hat nichts mit der Variablen r im Integral zu tun und bezeichnet als KONSTANTE den "kleinen" Radius.]

3.) in deinem Mehrfachintegral stimmt die Folge der Variablen der Grenzen nicht mit der Folge der Differenzial-Variablen überein. Somit falsch.

Also nochmal ...

19.06.2011, 11:11

magoroth

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1.)
Für $\begin{eqnarray*} V=\int _1^2 \pi x^2 \dd y =\int _1^2 \pi y^2 \dd y=\frac 7 3 \pi \end{eqnarray*}$
Komme ich auch auf 7/3pi warum aber beide integrale gleich sind verstehe ich nicht und ich erkenne auch nicht die Substitution unglücklich

3.)

$\begin{eqnarray*} V=\int_1^2 \int_1^2 \int_0^{2\pi}r\,\, \, \dd \beta \dd r \dd z \end{eqnarray*}$

Habe es nochmal nachgerechnet und finde auch da nicht meinen Fehler unglücklich

Mein r habe ich ja mit Hilfe der Zylinderkoordinaten ausgerechnet und ist mein dv.
komme immer auf 3pi.
Ich integriere erst beta dann r und dann z, verstehe leider nicht,wie du das meinst mit "in deinem Mehrfachintegral stimmt die Folge der Variablen der Grenzen nicht mit der Folge der Differenzial-Variablen überein."

Srry für die Belästigung, aber ich schreibe mittwoch, deshalb bin ich ein wenig in panik :/

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