Frage zur Taylorformel

18.06.2011, 14:04

Penelope91

Frage zur Taylorformel

Meine Frage:
Hallo ich soll folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{j=1}^n x_{j} ) ^k / k!= \sum\limits_{|a|=k}^n \frac{x^{a} }{a!} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun will ich die Taylorformel auf das, auf der linken Seite auftretende Polynom anwenden, weiß abe nicht so recht wie?

18.06.2011, 21:42

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RE: Frage zur Taylorformel
Gehe ich richtig in der Annahme, dass das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Multiindex sein soll und die $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ damit n versch. Variablen?

Dann frage ich mich, wie das funktionieren soll. Links hast du ein homogenes Polynom 1. Grades in der Klammer, welches zur k-ten Potenz erhoben wird. Meiner Ansicht nach sollte dabei dann ein homogenes Polynom k-ten Grades rauskommen.
Dein Index auf der rechten Seite läuft aber von k erst los, das passt nicht. Zudem: Warum sollte k nicht größer als n sein - dann wäre die rechte Summe leer, die linke aber mit Sicherheit nicht.
Oder welchen Denkfehler mache ich da verwirrt

19.06.2011, 12:00

Penelope91

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Ich hätte noch dazu schreiben sollen dass folgendes gilt:

x=(x1....xn) € IR^n, k€ IN, a€IN

19.06.2011, 16:43

Corny

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hey

Zitat:

Gehe ich richtig in der Annahme, dass das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Multiindex sein soll und die $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ damit n versch. Variablen?

Ja

Die Formel müsste so richtig lauten.
$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{j=1}^n x_{j} ) ^k / k!= \sum\limits_{|a|=k} \frac{x^{a} }{a!} \end{eqnarray*}$

@Penelope91

Der Beweis erfolt über induktion:

Für m=1 ist sie natürlich erfüllt.(sieht man durch einfaches einsetzen)
Für m=2 verwendet man die Binomische Formel
Dann induktion von m nach m+1
Hierbei setzt du s=x_1,...,x_m und hast dann dastehen (s+x_m+1)^k und dann kannst du wieder die Binomische Formel anwenden

Gruß Corny

19.06.2011, 22:16

Penelope91

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Hey Corny vielen Dank für deine Hilfe.
Die Schritte m=1 und m=2 verstehe ich noch, aber kannst du mir das mit m+1 nochmal genau erklären also dass ich s=....setzte und dann s+x_m+1^k habe??

21.06.2011, 21:10

Penelope91

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Kann mir nochmal bitte jmd beim schritt n+1 weiterhelfen?

21.06.2011, 21:28

Corny

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hey
sorry dass ich jetzt erst wieder schreib.

Also.
Der Ansatz lautet folgendermaßen:

Setze $\begin{eqnarray*} s:=(x_{1}+...+x_{m}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x_{1}+...+x_{m} +x_{m+1} \right) ^{k} =\left(s +x_{m+1} \right) ^{k} =\sum\limits_{j=1}^k \frac{k!}{(k-j)!\cdot j!} \cdot s^{l}\cdot x_{m+1}^{k-j} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst nur noch für dein s die Indunktionsvoraussetzung einsetzen, da du es ja schon für alle m bewiesen hast.
Dann noch ein bisschen umformen und du hast es schon dastehen.

Gruß Corny

21.06.2011, 22:09

Penelope91

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Vielen Dank, hat mir sehr geholfen=)

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