Lineare Abblidungen Injektivität

18.06.2011, 12:37	Kolemoen	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abblidungen Injektivität Hi Leute, ich soll folgendes beweisen: f: X-->Y ist lineare Abbildung. dann: Das Bild jeder linear abhängigen Teilmenge ist wieder linear abhängig <==> f in injektiv oder die Nullabblidung <== habe ich schon gelöst, aber bei ==> komme ich nicht weiter. Ich habe schon alles mögliche versucht, zum Beispiel, zu zeigen, dass ker(f)=0 (die Äquvalenz zur Injektivität hatten wir schon bewiesen) oder über Widerspruchsbeweis. Die gleiche Aussage über linear unabhängige Teilmenge konnte ich auch beweisen(da fiel allerdings das mit der Nullabbildung raus). Da hab ich es so gemacht: sei f(x)=0, x=a1b1+...+anbn ; bi Basiselemente; ai Skalare f(x)=a1f(b1) +...+anf(bn)=0 Da Nach Voraussetzung Das Bild der Basis wieder linear unabhängig ist, sind alle ai=0, daher x=0 Also f(x)=0 ==>x=0, daher ker(f)=0 was äquvalent zur Injektivität ist. Mit linear abhängigen Mengen klappt das nun aber nicht mehr, da ich ja dann nicht mehr weiß, ob alle ai=0 sind. Falls noch jemand sehen will ich ==> für die Aufgabe oben gemacht habe: Ist f die Nullabbildung, ist die Aussage klar Sei f also injektiv, also ker(f)=0 sei (y1,...,yn) linear abhängig. c1f(y1)+...+cnf(yn) =0 (wegen der Injektivität sind die f(yi) paarweise verschieden) ==>f(c1yi+...+cnyn)=0 wegen ker(f)=0 folgt: c1y1+...+cnyn=0 Da (y1,...,yn) linear abhängig, existiert mind. ein ci ungleich 0, also ist auch c1f(y1)+...+cnf(yn) linear abhängig. Über Ideen wäre ich sehr dankbar
18.06.2011, 13:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt mir falsch vor. Wenn $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine linear abhängige Teilmenge ist, gibt es ein $\begin{eqnarray} x_0 \in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0=\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f(x_0)= \sum_{i=1}^n\alpha_i f(x_i) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} f(M) \end{eqnarray}$ eine linear abhängige Menge. Da das für jede lineare Abbildung f gilt, kann ich nicht f injektiv daraus schließen.
18.06.2011, 13:25	Kolemoen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn mehrere Vektoren aus M das gleiche Bild haben, dann hat die Bildmenge ja weniger als n Elemente... Es geht nicht darum, ob die einzelner Bilder voneinander wieder linear abhängig sind, sondern die Menge der Bilder. Wenn z.B. x0, x1 linear abhängig sind und f(x0)=f(x1) Dann sind f(X0) und f(x1) zwar wieder linear abhängig, aber {f(xi)} besteht ja dann nur noch aus einem Element, ist also linear unabhängig.
19.06.2011, 11:57	Kolemoen	Auf diesen Beitrag antworten »
keine Ideen?

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