Verschoben! Induktion: Geometrieaufgabe

18.06.2011, 16:33	MaNic22	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion: Geometrieaufgabe Meine Frage: Hi Leute, ich lese grad in nem Anfängerbuch für Studiumsmathe und bin jetzt bei Induktion. Da kam folgendes Beispiel: Durch n Geraden (in allgemeiner Lage) wird die Ebene in höchstens (n²+n+2)/2 Teile zerlegt. Klingt erstmal ganz logisch, wenn man n=1 einsetzt (also wenn eine Gerade vorhanden ist) kommen 2 Teile raus - kann man sich vorstellen. Jetzt der Induktionsversuch. n Geraden seien bereits vorhanden. Die (n+1)-te Gerade kann höchstens n Geraden schneiden. Immer wenn die neue Gerade eine vorhandene Gerade schneidet, dann tritt sie in ein neues Gebiet der Ebene ein. Die Anzahl der Gebiete, die von der neuen Geraden geteilt werden, ist (höchstens) n+1, denn das erste Gebiet wird ja schon geteilt, bevor die neue Gerade die erste vorhandene Gerade schneidet. Die Anzahl der neuen Gebiete ist damit für n+1 höchstens gleich (n²+n+2)/2+(n+1). Das ist das Gleiche wie ((n+1)²+(n+1)+2)/2. Sooo, ich verstehe hier 2 Dinge nicht. Erstens: Wie kommt der Typ von seiner an sich logischen Argumentation zu der Formel? Warum packt er nun n+1 in den Nenner? Und zweitens: Wie formt der bitte um? Ich komm nicht mal von der ersten zur zweiten Formel! Bitte um Hilfe, Danke Meine Ideen: Naja, eigene Idee: da die n+1-te gerade teilt, klingts logisch sie in den teiler zu packen, aber warum zur 2 addieren? und zur umformung der ersten formel fällt mir nix ein.
18.06.2011, 16:44	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Die Formel ist "geraten". Ein Induktionsbeweis dient idR nicht dazu, um irgendetwas herzuleiten, sondern nur, um eine Vermutung (ja, die Formel könnte in etwa stimmen) zu beweisen, vorausgesetzt natürlich, die Vermutung stimmt. Du kannst also nichts darüber sagen, wie "der Typ" auf die Formel gekommen ist, aber du weist, sie stimmt. 2. Wie addiert man zwei Brüche?--man bringt sie auf den Hauptnenner, der ist 2: $\begin{eqnarray} \frac{n^2+n+2}{2}+n+1=\frac{n^2+n+2}{2}+\frac{2(n+1)}{2}=\frac{n^2+n+2+2n+2}{2} \end{eqnarray}$ . Wenn dir diese Umformung nicht klar ist, würde ich zuerst mal Grundlagen wiederholen, anstatt mich an die Induktion zu wagen. 3. Das ist ein Thema für die Schulmathematik!
18.06.2011, 16:56	MaNic22	Auf diesen Beitrag antworten »
1. das chek ich nich ganz, warum sollte der mir einfach irgendeine formel hinklatschen, wenn er mir das induktionsverfahren beibringen will 2. ich kann die grundlagen sehr wohl (wär auch schlecht wenn nicht), mir ist nur gerade bewusst geworden, dass ich das 2+n+1 zusammen ausversehen in den nenner gepackt habe - klar, dass da verwirrung aufkommt. aber danke für die demonstration meines fehlers. 3. induktion = schulmathematik ? (ok, bei frage 2 schon, ja, aber frage 1 nicht)
18.06.2011, 17:03	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion ist Stoff der Oberstufe, wird auf meiner Schule in Klasse 11 gelehrt. es kommt zwar später auch nochmal, aber da es in der Schule drankommt (und diese Aufgabe hier nicht allzuschwer ist ) ist es Schulmathe. Er klatscht dir sehrwohl nur irgendeine Formel hin, die du dann Beweisen sollst: Du lernst nichts darüber, wie du auf solche Formeln kommen kannst. Bsp (beliebte Beispielaufgabe): Zeige durch Induktion, dass gilt: $\begin{eqnarray} 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ Wenn du dies durch Induktion beweist, weißt du nicht, wie man solche Formeln herleiten kann. Sie wird dir einfach hingeklatscht (Es spielt ja auch keine Rolle, wie man evt. darauf kommt, haupsache, es lässt sich durch Induktion beweisen). edit: Das mit den Grundlagen habe ich deshalb geschriben, weil es diesem Thread nach den Anschein hatte. Es war auch lediglich ein gut gemeinter Ratschlag.
18.06.2011, 21:05	MaNic22	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube aber du hast da was falsch verstanden. die eigntliche zu beweisende formel (die er hinklatscht) ist (n²+n+2)/2 nun argumentiert er in der lösung gleich über mehrere zeilen. das kann ich eigntl auch alles nachvollziehen. aber von dieser argumentation kommt er dann (und setzt sie nicht einfach voraus) auf die neue formel (n²+n+2)/2+(n+1) mit der er oben genannte formel beweist. zumindest denke ich, dass er sie aus der argumentation erschließt, da das ganze beweisverfahren sonst sinnlos wäre, wenn man nicht selbst auf den beweis kommen könnte. und ich möchte halt gerne wissen, wie er von seiner wörtlichen argumentation auf die neue formel schließt
19.06.2011, 14:47	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, das meinst du. Ja, da haben wir etwas aneinander vorbei "geredet": Folgendes ist wohl sofort einsehbar: Anzahl der Flächen bei n+1 Geraden=Anzahl der Flächen bei n Geraden + Anzahl der hinzukommenden Flächen. Dabei ist: Anzahl der Flächen bei n Geraden = Induktionsvorausetzung = (n²+n+2)/2 Anzahl der hinzukommenden Flächen = Mehrzeilige Argumentation = n+1 Und die Summe des ganzen ist dann $\begin{eqnarray} \frac{n²+n+2}{2} + n+1 \end{eqnarray}$
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