Bogenlänge eines Kurvenstücks y = ln(x)

18.06.2011, 17:45

Wassertropf

Bogenlänge eines Kurvenstücks y = ln(x)

Meine Frage:
Hallo

ich soll von der Funktion y = ln(x) die Bogenlänge zwischen x = 1 und x = 2 errechnen.

Meine Ideen:
Ich habe die Formel der Bogenlänge s eines Kurvenstücks:
$\begin{eqnarray*} s = \int_a^b \! \sqrt{1+y'^2} \, dx \end{eqnarray*}$
darin habe ich die Ableitung von y, also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ eingefügt. Dann habe ich gesehen, dass ich das Itegral mit einem Grundintegral ersetzen kann (arsinh(x)+C).
Und kam dann schlussendlich auf:
$\begin{eqnarray*} arsinh(\frac{1}{a}) - arsinh(\frac{1}{b}) \end{eqnarray*}$ mit a = 2 und b = 1
damit komme ich aber auf -0,40... und nicht auf die Lösung 1,22...
Die Lösung 1,22... sollte richtig sein; bekommt auch maxima raus, wenn ich die Formel der Bogenlänge s als bestimmtes Integral mit den Grenzen 1 und 2 Integrieren lasse.

Was stimmt an meinem arsinh-Formel nicht? :-(

Viele Dank fürs Durchlesen!

18.06.2011, 18:05

Mulder

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RE: Bogenlänge eines Kurvenstücks y = nl(x)

Zitat:

Original von Wassertropf
Dann habe ich gesehen, dass ich das Itegral mit einem Grundintegral ersetzen kann (arsinh(x)+C).

Kapier ich nicht. Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

Inwiefern soll das hier passen? Du hast da doch ganz was anderes stehen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{x^2}} = \frac{ \sqrt{1+x^2}}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich mal die Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{z^2-1} \end{eqnarray*}$

ausprobieren. Das Integral ist aber wirklich nicht so ganz einfach... echt Schulmathe?

Edit: Ein wenig Suche ergab noch einen schönen Weg von Leopold. Der ist nicht schlecht. Freude

18.06.2011, 19:07

Wassertropf

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RE: Bogenlänge eines Kurvenstücks y = nl(x)
Hey. Danke für deine Hilfe.

Okay, du hast recht - ich hatte das Integral total falsch im Kopf gehabt. Danke!
Dein Link habe ich angeschaut, bisher noch nicht verstanden, aber nach dem Abendbrot setze ich mich da nochmal hin.

Ich hätte aber noch eine kleine, peinliche, grundlegende Frage zu deiner Antwort.

Ich tue mich grad schwer, nachzuvollziehen, wie du auf die Umformung gekommen bist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+%20\frac{1}{x^2}}%20=%20\frac{%20\sqrt{1+x^2}}{x} \end{eqnarray*}$
Trotz einigen Rechenversuchen auf Papier und Nachdenken, bin ich nicht darauf gekommen - hättest du da noch einen kleinen Tipp für mich?

Viele Dank für deine Bemühung!!
Die Aufgaben sind - nach Aussagen meines Matheprofs - Schulmathe :-)

18.06.2011, 19:14

Mulder

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RE: Bogenlänge eines Kurvenstücks y = nl(x)

Zitat:

Original von Wassertropf
Ich hätte aber noch zwei kleine, peinliche, grundlegende Fragen zu deiner Antwort.

1. Ist $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$ nicht das selbe wie $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{\sqrt{1+x^2} } \end{eqnarray*}$ ?

Diese Frage ist jetzt aber wirklich sehr klein und seehr grundlegend. Augenzwinkern

Natürlich ist das dasselbe (Kommutativität der Addition).

Zitat:

Original von Wassertropf
Ich tue mich grad schwer, nachzuvollziehen, wie du auf die Umformung gekommen bist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } = \sqrt{ \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2} } = \frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|} \end{eqnarray*}$

Der Betrag am Ende kann aber entfallen, weil wir ja eh nur x>0 betrachten, das ist also hier unproblematisch.

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