Differenzierbarkeit Funktion

18.06.2011, 18:01

Esto

Differenzierbarkeit Funktion

Gegeben: Sei
$\begin{eqnarray*} D = \mathbb{Q} \backslash \left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N^{*}}} \end{eqnarray*}$

In welchen Punkten ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb{R} , x \rightarrow | x^{3}| + |x| \end{eqnarray*}$
differenzierbar?

Ich habe mir den Graphen aufgemalt und sehe, dass sie einen "Knick" hat an der Stelle Null.
Nun kann ich mir eine Nullfolge wählen z.B. 2/n und -2/n und zeigen, dass die Rechte und linke Ableitung nicht übereinstimmen, richtig?
Aber wie zeige ich, dass es die einzige Stelle ist an der die Funktion nicht differenzierbar ist? Ich vermute einfach den Graphen hinzumalen reicht nicht aus.

18.06.2011, 18:06

Gastmathematiker

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RE: Differenzierbarkeit Funktion

Zitat:

Original von Esto
Gegeben: Sei
$\begin{eqnarray*} D = \mathbb{Q} \backslash \left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \mathbb{N^{*}}} \end{eqnarray*}$

In welchen Punkten ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb{R} , x \rightarrow | x^{3}| + |x| \end{eqnarray*}$
differenzierbar?

Habt ihr Diffbarkeit für Teilmengen von $\begin{eqnarray*} D = \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ definiert?

Zitat:

Original von Esto
Ich vermute einfach den Graphen hinzumalen reicht nicht aus.

Nein

18.06.2011, 18:13

Esto

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RE: Differenzierbarkeit Funktion
Kannst du mir sagen wie man mit Namen zitiert?

Und wir haben nur die Diffbarkeit für $\begin{eqnarray*} D\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

18.06.2011, 18:59

Gastmathematiker

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RE: Differenzierbarkeit Funktion

Zitat:

Original von Esto
Kannst du mir sagen wie man mit Namen zitiert?

Und wir haben nur die Diffbarkeit für $\begin{eqnarray*} D\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

Drücke einfach mal auf Zitat im Beitrag.

Aber was für Bedingungen habt ihr an $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gestellt?

18.06.2011, 19:46

Esto

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RE: Differenzierbarkeit Funktion

Zitat:

Original von GastmathematikerDrücke einfach mal auf Zitat im Beitrag.

Danke

Zitat:

Original von Gastmathematiker Aber was für Bedingungen habt ihr an $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gestellt?

Sei $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ; eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : D\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heisst im Punkt $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ differenzierbar, falls der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} \end{eqnarray*}$ existiert.
$\begin{eqnarray*} \xi \in D \backslash{{x}} \end{eqnarray*}$
Es wird vorausgestzt, dass es mindestens eine Folge $\begin{eqnarray*} \xi _{n} \in D\backslash x \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \xi_{n} = x \end{eqnarray*}$ , d.h., x muss ein Häufungspunkt von D sein.

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