Sattelpunkte

18.06.2011, 20:55

thomas42

x^4 Extrempunkte/Wendepunkte/Sattelpunkte

Meine Frage:
Hallo erstmal,

ich habe ein Problem mit der Bestimmung von Extrempunkten, Wendepunkten und Sattelpunkten bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 \end{eqnarray*}$ .
An sich ist das ganze ja keine große Sache, nur bei dieser Funktion hier habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf:
Ich muss wie der Titel bereits sagt, prüfen ob Extrempunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte vorhanden sind und diese angeben.

Meine Ideen:
Meine bisherigen Überlegungen gehen in folgende Richtung:

Ableitungen (eigentlich unnötig):
$\begin{eqnarray*} f(x) = x^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 4x^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = 12x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x) = 24x \end{eqnarray*}$

Für die Extrempunkte:

Notw. Bed. f. Extrst.:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0 \end{eqnarray*}$ --> Extremp. bei $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$
Hinr. Bed. f Extrst.:
$\begin{eqnarray*} f''(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ --> Nicht erfüllt
--> Also Vorzeihenwechselkriterium bei $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ --> Identifiziert 0 als Tiefpunkt

Soweit so gut. Nun zu den Wendepunkten:
Gemäß der Notw. Bed. ergibt sich $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} f'''(x) \end{eqnarray*}$ lässt sich das ganze wieder nicht bestätigen, also wieder VZW nur diesmal bei $\begin{eqnarray*} f''(0) \end{eqnarray*}$ --> Es gibt aber hier keinen Vorzeichenwechsel --> folglich muss es sich um einen Sattelpunkt handeln.

Zusammengefasst:

Tief und Sattelpunkt bei $\begin{eqnarray*} (0|0) \end{eqnarray*}$

Nur hab ich keine Ahnung, ob das Ganze richtig ist, oder ob ich irgendwo mit den Ableitungen bzw. Kriterien durcheinander gekommen bin.

Vielen Dank im Voraus!

Mfg thomas 42

18.06.2011, 21:05

Bjoern1982

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Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} f'''(x) \end{eqnarray*}$ lässt sich das ganze wieder nicht bestätigen, also wieder VZW nur diesmal bei $\begin{eqnarray*} f''(0) \end{eqnarray*}$ --> Es gibt aber hier keinen Vorzeichenwechsel --> folglich muss es sich um einen Sattelpunkt handeln.

Wie kommst du darauf, dass deswegen ein Sattelpunkt vorliegen muss ?
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt (mit waagrechter Tangente).
Da nun aber kein Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung, also kein Krümmungswechsel stattfindet...

18.06.2011, 21:19

thomas 42

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... liegt auch kein Wendepunkt vor und damit auch natürlich kein Sattelpunkt.

Folglich gibt es nur das Minimum und sonst nichts.

Danke!

18.06.2011, 21:22

Bjoern1982

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