Cauchy-Riemannsche DGL

18.06.2011, 23:09	Sway	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Riemannsche DGL Hallo an alle, die Samstag Abend auch mit Mathe verbringen Ich hab hier folgendes Problem: Sei f: C --> C mit f(z):= $\begin{eqnarray} \sqrt{xy} \end{eqnarray}$ für xy>=0 i* $\begin{eqnarray} \sqrt{-xy} \end{eqnarray}$ für xy < 0 Ich soll hier zeigen, dass f in z=0 die C.R.-DGL erfüllt und sagen, ob f in z=0 diff. ist? Also ich hab hier die partiellen Ableitungen bestimmt: ux= $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ uy= $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}} \end{eqnarray}$ vx= $\begin{eqnarray} \frac{-\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray}$ vy= $\begin{eqnarray} \frac{-\sqrt{x}}{2\sqrt{y}} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, die stimmen soweit? Normalerweise müsste ich jetzt ja überprüfen, ob ux=vy und uy=-vx ist und die Ableitungen stetig sind oder? Kann mir jetzt jemand einen Tipp geben, wie man das jetzt für einen bestimmten Punkt zeigen kann?
19.06.2011, 12:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du beachtest ja gar nicht die Fallunterscheidung, durch die $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ definiert ist. Das Problem sind gerade die Koordinatenachsen, bei deren Überspringen der zuständige Term wechselt. Die von dir verwendeten Ableitungsregeln sind genau für diese Stellen ungültig. Zur Untersuchung der komplexen Differenzierbarkeit bei $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ betrachte den Differenzenquotienten $\begin{eqnarray} \frac{f(z)-f(0)}{z-0} = \frac{f(z)}{z} \, , \ \ z \neq 0 \end{eqnarray}$ Wenn sich nun hier bei jeder Annäherung $\begin{eqnarray} z \to 0 \end{eqnarray}$ stets derselbe Grenzwert ergibt, dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ differenzierbar an der Stelle $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Wenn man dagegen je nach Annäherung verschiedene Grenzwerte erhält oder der Grenzwert nicht existiert, dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht differenzierbar an der Stelle $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Du kannst nun $\begin{eqnarray} z \to 0 \end{eqnarray}$ spezialisieren: 1. Annäherung auf der reellen Achse: $\begin{eqnarray} z = x, \ x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ Hier bekommst du für $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ den Term $\begin{eqnarray} u_x + \operatorname{i} v_x \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . 2. Annäherung auf der imaginären Achse: $\begin{eqnarray} z = \operatorname{i} y, \ y \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ Hier bekommst du für $\begin{eqnarray} y \to 0 \end{eqnarray}$ den Term $\begin{eqnarray} v_y - \operatorname{i} u_y \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Und der Vergleich von 1. und 2. gibt dir die Aussage über die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen an der Stelle $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . 3. Annäherung über die erste Winkelhalbierende: $\begin{eqnarray} z = t + \operatorname{i} t , \ t \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ Was folgt hier für $\begin{eqnarray} t \to 0 \end{eqnarray}$ ?
19.06.2011, 21:10	Sway	Auf diesen Beitrag antworten »
Puh, also erst mal vielen vielen Dank für die Hilfe, da war ich ja komplett auf dem falschen Weg! Wie genau komme ich denn auf die Terme? Und wieso brauche ich die Winkelhalbierende? Vielen Dank!
19.06.2011, 23:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand kann einem doch verbieten, spezielle $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z \to 0 \end{eqnarray}$ betrachten, um zu schauen, wie sich der Differenzenquotient dabei verhält. Was bei 1. steht, ergibt sich unmittelbar durch Einsetzen. Schreibt man kanonisch durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil $\begin{eqnarray} f(z) = u(x,y) + \operatorname{i} v(x,y) \ \ \text{mit} \ \ z = x + \operatorname{i} y \end{eqnarray}$ so erhält man, wenn man speziell reelle $\begin{eqnarray} z = x \end{eqnarray}$ betrachtet: $\begin{eqnarray} \frac{f(z) - f(0)}{z-0} = \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = \frac{u(x,0) - u(0,0)}{x-0} + \operatorname{i} \frac{v(x,0) - v(0,0)}{x-0} \ \to \ u_x(0,0) + \operatorname{i} v_x(0,0) \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0 \end{eqnarray}$ natürlich vorausgesetzt, daß die Grenzwerte existieren. Das ist einfach die Definition der partiellen Ableitung von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ . Und die Formel bei 2. erhält man analog. Was ergibt sich nun hier konkret für ein Grenzwert bei 1. und 2.? Daß ich bei 3. den Vorschlag mache, sich auf der I. Winkelhalbierenden anzunähern, ist rechenpraktischen Erwägungen geschuldet. Man ist doch auf der Suche nach einem Widerspruch, also einem Annäherungsweg, der nicht zum selben Grenzwert wie bei 1. und 2. führt. Und mit $\begin{eqnarray} z = t + \operatorname{i} t \end{eqnarray}$ läßt sich's halt bequem rechnen. Du kannst ja auch einmal etwas anderes probieren.
21.06.2011, 17:59	Sway	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub ich habs! Die beiden Grenzwerte ergeben 0! Und somit sind die C-R-DGL gezeigt. Durch die Annäherung auf der Winkelhalbierenden ergibt sich ein anderer Grenzwert und damit ist bewiesen, dass die Funktion nicht diff. in z=0 ist. Stimmts?
21.06.2011, 18:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Zur Sicherheit: Welcher Grenzwert ergibt sich, wenn man sich auf der Winkelhalbierenden nähert?
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