Bijektion von [0,1] auf R

19.06.2011, 00:23

Pascal95

Bijektion von [0,1] auf R

Hallo,

ich suche eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dabei scheint es so, als ob ich ein Verständnisproblem habe.

Ich frage mich nämlich, ob es so eine Bijektion denn überhaupt geben kann...

Sind das nicht alles Beispiele für Bijektionen von $\begin{eqnarray*} (0,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} $ f_1(x):=\left\{\begin{array}{cl} \frac1x, & \mbox{falls }x\in \left[0,\ \frac12\right] \\ \frac1{x-1}+4, & \mbox{falls } x\in \left(\frac12,\ 1\right] \end{array}\right. $ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(x):=\tan\left( \left( x-\frac12 \right) \pi \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3(x):= -\ln\left( \frac1x-1 \right) \end{eqnarray*}$

Alle haben ja solch ein Aussehen in der Art:

Meine Frage ist nun:
Wie soll eine Abbildung $\begin{eqnarray*} h:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ bijektiv sein?
Auf was soll $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, auf was soll $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet werden? $\begin{eqnarray*} h(0)=? \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h(1)=? \end{eqnarray*}$
Es muss ja eine Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ existieren. Für welche $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} h^{-1}\left(x_0\right)=0 \end{eqnarray*}$ ?
Muss denn $\begin{eqnarray*} h(0) \end{eqnarray*}$ überhaupt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert sein?
Es ist aber auf jeden Fall: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} h(x)=\infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 0} h(x)=-\infty \end{eqnarray*}$ .

Wo liegt mein Denkfehler?

Danke,

Gruß

19.06.2011, 00:42

Gastmathematiker

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RE: Bijektion von [0,1] auf R

Zitat:

Original von Pascal95
Wo liegt mein Denkfehler?

Danke,

Gruß

Du suchst eine stetige Bijektion, die gibt es natürlich nicht, da unter stetigen Abbildungen das Bild eines Kompaktums (hier [0,1]) wieder Kompakt ist. Es gibt aber unstetige Bijektionen.

19.06.2011, 00:48

Pascal95

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Hmm,
wie könnte denn so eine unstetige Funktion aussehen?

Über das Kompaktum habe ich noch nicht nachgedacht.
Das Problem war für mich eher, dass $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ , auch $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ beschränkt sind, aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht.
Dass eben $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen (in diesem Fall sogar offen) ist, war mir aber klar.

Aber wie kann man dann $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ definieren, wenn $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ bijektiv ist? (Das kann doch nur $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ sein $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist aber keine Reelle Zahl !)

Danke dir schon ein mal...

19.06.2011, 15:09

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Pascal95
Aber wie kann man dann $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ definieren, wenn $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ bijektiv ist? (Das kann doch nur $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ sein $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ist aber keine Reelle Zahl !)

Im Prinzip kann f(0) alles sein, es gibt nicht nur eine Möglichkeit.

Da du schon eine Bijektion $\begin{eqnarray*} (0,1)\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ kennst, reicht es, eine Bijektion $\begin{eqnarray*} [0,1]\rightarrow(0,1) \end{eqnarray*}$ zu finden. Dazu definiere ich zuerst mal $\begin{eqnarray*} M=\{1/n;\;n\in\mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$ und setzen dann

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 1/2,& x=0\\ 1/(n+2),& x=1/n\in M\\x,& sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

19.06.2011, 15:22

Pascal95

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Hallo,

verstehe ich die 2. Fallunterscheidung richtig?

Wenn sich x als Kehrwert einer natürlichen Zahl darstellen lässt, dann ist f(x) gleich 1/(n+2), wobei n die Zahl ist, dessen Kehrwert x ist.

Ist deine Idee, folgendes zu konstruieren: $\begin{eqnarray*} [0,1]\to(0,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ und dann die Komposition der Funktionen betrachten, um $\begin{eqnarray*} [0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ bijektiv abzubilden? Das würde ich für sehr geschickt halten!

28.06.2011, 14:58

Pascal95

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Könnte man den Graphen der Funktion dann so darstellen ?
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