Jacobi-Verfahren, Konvergenzgeschwindigkeit

19.06.2011, 09:59	EverDare	Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi-Verfahren, Konvergenzgeschwindigkeit Guten morgen zusammen, ich sitze gerade an meiner Prüfungsvorbereitung und komme mit einer Klausurteilaufgabe leider übehaupt nicht zurecht... . Gegeben sind die folgenden Matrizen: $\begin{eqnarray} A =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 16 & 2 \\ 12 & 3 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B =\begin{pmatrix} 12 & 3 & 2 \\ 1 & 16 & 2 \\ 3 & 1 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 16 & 2 \\ 12 & 3 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D =\begin{pmatrix} 12 & 3 & 1 \\ 2 & 16 & 2 \\ 3 & 1 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die rechte Seite sei immer: $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Frage ist jetzt: Für welches LGS erwarten Sie die schnellste Konvergenz? Ich weiß leider überhaupt nicht, wo ich da ansetzen soll. Wir haben in der Vorlesung lediglich aufgeschrieben, dass das Gauß-Seidel-Verfahren schneller konvergiert als das Jacobi-Verfahren (wie schnell dieses "schneller" allerdings ist, wurde auch nicht behandelt...) und bzgl. Rechnungen haben wir nur die Anzahl der Iterationsschritte bestimmt, die man braucht, um einen gegebenen Fehler nicht zu überschreiten. Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich? Hängt es vielleicht i.wie mit der Diagonaldominanz/Zeilensummenkriterium zusammen? Und wenn ja, wie? Vielen Dank schon mal im Vorraus, lg, Ever
19.06.2011, 13:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jacobi-Verfahren, Konvergenzgeschwindigkeit Warum konvergieren die Verfahren überhaupt?
19.06.2011, 14:13	EverDare	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... die Verfahren konvergieren, weil bei jedem Iterationsschritt die Abweichung zwischen der exakten, gesuchten Lösung und der vorgegebenen/erhaltenen/iterierten Lösung kleiner wird, bis sie schließlich gegen 0 geht.
19.06.2011, 14:16	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine sinnvolle Antwort, die Erklärungen bringt. Sie beschreibt nur in locken Worten, was man unter "Konvergenz" verstehen könnte. Danach hatte ich nicht gefragt. Warum werden die Abweichungen immer kleiner?
21.06.2011, 05:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Für alle, die die Aufgabe einmal lesen werden. $\begin{eqnarray} A =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 16 & 2 \\ 12 & 3 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B =\begin{pmatrix} 12 & 3 & 2 \\ 1 & 16 & 2 \\ 3 & 1 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C =\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 16 & 2 \\ 12 & 3 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} D =\begin{pmatrix} 12 & 3 & 1 \\ 2 & 16 & 2 \\ 3 & 1 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Einträge in den Matrizen sind bis auf Anordnung gleich. B,C,D sind wegen ihrer zeilen-diagonal-Dominanz interessant. $\begin{eqnarray} \rho:=\max_{i=1,...,n}~\sum_{k=1 \atop k \neq i}^{n}\| \frac{a_{ik}}{a_{ii}}\|~<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \max_{i=1,...,n}\|x_i^{(k)}-x\| \leq \frac{\rho^k}{1-\rho} \cdot \max_{i=1,...,n} \| x_i^{(1)}-x_i^{(0)}\| \end{eqnarray}$ ausrechnen. Für A muss man um die Konvergenz zu zeigen die Iterationsmatrix M des Jacobiverfahrens ausrechnen. Es findet sich dann leicht eine induzierte Matrixnorm mit \|\|M\|\|<1. Der Spektralnorm nach würde ich von schnell nach langsam D,B,C,A sagen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »