Frage zum Induktionsschritt |
| 19.06.2011, 11:33 | MaNic22 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Frage zum Induktionsschritt Hi Leute, ich bin Anfänger und will gerade Induktion erlernen und mir ist bei einer Aufgabe eine Frage aufgekommen. Zuerst die Aufgabe: "Zeige, dass die Anzahl d(n) der Diagonalen in einem ebenen, konvexen Polygon mit n Ecken (kurz: n-Eck) durch die Formel d(n)= (n/2)*(n-3) berechnet werden kann! Für welche n gilt die Formel?" So, das Buch gibt gleich die Lösung an. Man beginnt mit einem 3-Eck, wovon man weiß, dass es keine Diagonalen haben kann und schau d(3)=0 JUHEY! Für n=3 ist die Behauptung richtig. So, jetzt kommt der Induktionsschritt, wofür man sich ein 6-Eck vorstellen muss, welches man mithilfe einer seiner Diagonalen in 2 Teile teilt: ein 3-Eck und ein 5-Eck bzw. ein (n-1)-Eck. Jetzt muss man die Anzahl der Diagonalen als Formel darstellen und da kommt dann auch gleich meine Frage. Die Formel lautet: d(n) = d(n-1) + (n-3) + 1 (durch umformen wird sie zu der erstgenannten Formel oben und somit haben wir alles super bewiesen!) Zu der Formel: d(n-1) gibt die Diagonalenanzahl des 5-Ecks an, ok. und das +1 ist die Diagonale die das 6-Eck geteilt hat, ok. Aber nun soll man noch die Diagonalen mitzählen, die von der einen Ecke des 3-Ecks zu den Ecken des 5-Ecks laufen (das sind genau 3). Meine Frage ist jetzt, wieso er diese 3 nicht addiert (wie er es auch mit der +1 tut), sondern statt dessen (n-3), also 6-3=3 hinschreibt? Tut er das nur damit es mit der Formel nachher passt und wenn ja, wie soll man selbst auf sowas kommen? Danke schonma 
Meine Ideen: Blub |
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| 19.06.2011, 16:03 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast die Sache mit dem Induktionsschritt nicht ganz verstanden. Du darfst nicht von einem Sechseck ausgehen, sondern mußt im Induktionsschritt von einem beliebigen -Eck ausgehen (das Sechseck ist nur ein Beispiel, weil man ja irgendetwas Konkretes zeichnen muß). Wenn du nun von einem -Eck (allgemein denken!) ein Dreieck abspaltest, wie viele Diagonalen gehen dann von derjenigen Ecke des Dreiecks weg, die nicht dem restlichen -Eck angehört? |
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| 19.06.2011, 16:37 | MaNic22 | Auf diesen Beitrag antworten » |
aahh, stimmt, dass müssen immer genau n-3 diagonalen sein, denn man verbindet die dreiecks-ecke mit allen ecken (=n) außer mit seinen 2 nächstliegenden und sich selbst, also n-3! danke schön
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| 19.06.2011, 16:40 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
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