Folgen und Reihen Konvergenzkriterien

19.06.2011, 15:06

Gast1_2_3_4

Folgen und Reihen Konvergenzkriterien

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit Konvergenzkriterien von Folgen und Reihen dabei bin ich auf folgendes Problem gestoßen:

(Habe ich aus dem Buch Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band1 von L. Papula)

Sowohl die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 0,2^{n-1}=1+0,2^1+0,2 ^2+...+0,2^{n-1}+... \end{eqnarray*}$

als auch die harmonische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+... \end{eqnarray*}$

erfüllen das notwendige Konvergenzkriterium.

Laufen beide Limes gegen 0.

Aber nur die geometrische Reihe ist konvergent.

Frage:

Warum ist nur die geometrische Reihe konvergent ?

Für mich machen die beiden Reihen genau das gleiche verwirrt

19.06.2011, 15:11

IfindU

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Primitiv gesagt laufen beide gegen Null, die geometrische macht es aber sehr schnell, während die harmonische schon ziemlich träge ist. Sie tut es so langsam, dass man mit dem Cauchy Verdichtungskriterium zeigen kann, dass man in der Reihe ab jedem Index endlich viele Summanden wählen kann, die in der Summe 1 ergeben. Und weil man das so oft machen kann wie man will, da man immer nur endlich viele wählt, ist der Grenzwert unendlich.

Das ist apriori nicht klar und muss erst gezeigt werden, z.b. $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ geht schnell genug gegen 0 und konvergiert; auch das ist nicht klar und muss gezeigt werden.

Es ist also alles andere als natürlich, dass es so ist, aber man kann es zeigen.

19.06.2011, 15:53

Gast1_2_3_4

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Das ist komplizierter als ich gedacht habe.

Gibt es vielleicht noch eine leichtere Methode als das Cauchy

Verdichtungskriterium um das nachzuweisen ?

Ich habe gerade gelesen das man bei harmonischen Reihen das mithilfe einer

Vergleichsreihe nachweisen kann stimmt das?

Wie erkennt man eigentlich ob es sich um eine harmonische Reihe handelt ?

Ist das eine harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ?
Ich würde sagen ja.

19.06.2011, 16:12

IfindU

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Es gibt nur eine harmonische Reihe (soweit ich weiß), und das ist eben $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Eigenschaften

Wiki hat es ganz nett erklärt, auch wenn das kein formaler Beweis ist, ist es der Kern Gedanke davon. Es wird andere geben, aber ich bezweifle, dass sie (bedeutend) einfacher sind.

Ich sehe auch nicht wie man es geschickt abschätzen könnte, denn $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergiert, aber $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{n^\alpha}, \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert es bereits. D.h. wenn man die Geschwindigkeit nur ein wenig erhöht konvergiert es schon. Man benutzt die Harmonische selbst gerne als Abschätzung. Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \leq n \end{eqnarray*}$ gilt auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Damit weiß man, dass $\begin{eqnarray*} \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \geq \sum \frac{1}{n} = \infty \end{eqnarray*}$ und das auch die Reihe gegen unendlich strebt. Aber für Abschätzungen muss man eben schon bewiesen haben, dass einige Reihen konvergieren bzw. divergieren.

19.06.2011, 16:45

Gast1_2_3_4

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Ok

auf dem Link steht ja auch unter Verwandte Reihen:

Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man

$\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha >1 \end{eqnarray*}$ ( konvergiert )

$\begin{eqnarray*} \alpha\leq 1 \end{eqnarray*}$ ( divergiert )

Also braucht man hier das cauchysches Verdichtungskriterium nur wenn man es wirklich nachweisen muss.

Für die geometrische Reihe braucht man wohl oder übel das cauchysches Verdichtungskriterium also muss ich es lernen.

Kannst du es mir mit einem Beispiel beibringen ?

19.06.2011, 16:48

Gast1_2_3_4

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Oder kann man hier vielleicht das Quotientenkriterium anwenden verwirrt

19.06.2011, 17:15

Iorek

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In [WS] Reihen gibt es einen elementaren Nachweis für die Divergenz der harmonischen Reihe (ohne Cauchy), für die geometrische Reihe benötigst du das nicht, es findet sich aber auch mit einem Beispiel im Workshop.

19.06.2011, 17:43

Gast1_2_3_4

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Danke, hat mir geholfen smile

Den Nachweis für die harmonische Reihe habe ich zwar nicht verstanden aber für geometrische Reihen schon.

Als Faustregel kann ich mir auch einfach merken:

Zitat:

Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man

$\begin{eqnarray*} S=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha >1 \end{eqnarray*}$ ( konvergiert )

$\begin{eqnarray*} \alpha\leq 1 \end{eqnarray*}$ ( divergiert )

20.06.2011, 11:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Gast1_2_3_4
Den Nachweis für die harmonische Reihe habe ich zwar nicht verstanden aber für geometrische Reihen schon.

Was die "einfache" harmonische Reihe angeht, kann man mit vollständiger Induktion folgendes zeigen:

Für alle n aus N gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{2^n}~\frac{1}{k} \geq \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt dann sofort die Divergenz.

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