Noch ein Beweis zur Ableitungsfunktion |
| 25.06.2004, 14:02 | Joshi04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Noch ein Beweis zur Ableitungsfunktion Mathespezialschüler fragte das ja grad auch und da fiel mir auf, dass ich auch noch eine Frage habe: Kann mir jemand mal einen Tip geben wie ich an den Beweis der Potenzregel für rationale Exponenten rangehen muss? Ich kann sie für natürliche Exponenten beweisen, doch bei rationalen Zahlen habe ich keine Idee. Danke schonmal Gruß Yoshi |
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| 25.06.2004, 14:13 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi. x^r=exp(r ln(x)) Damit folgt sofort die Regel. |
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| 25.06.2004, 14:50 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das gilt dann aber auch für reelle Exponenten oder?? |
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| 25.06.2004, 14:54 | Joshi04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe ein Brett vorm Kopf. Wieso folgt daraus sofort die Regel? |
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| 25.06.2004, 15:16 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du wohl, was d/dx exp(r ln(x)) ist? Man fragt sich hier natuerlich - mal wieder - warum man zur Ableitung von x^r fuer rationale r die Ableitungsregeln fuer exp und ln gebrauchen muss, und wie diese hergeleitet werden. Aber das ist ein anderes Thema und soll ein anderes Mal diskutiert werden. |
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| 25.06.2004, 15:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ Joshi04 Philipp-ER's Beweis setzt die Eigenschaften der Exponentialfunktion voraus. Für beliebige reelle Exponenten ist das sicher der einfachste Beweis. Wenn du aber nur an rationalen (!) Exponenten interessiert bist, geht es auch ohne dieses schwere Geschütz. 1. Schritt: Die Regel gilt für beliebige ganzzahlige n. (Das hast du nach deinen Worten bereits erledigt.) 2. Schritt: Die Regel gilt für f(x)=x^(1/n) mit positivem ganzzahligem n. Das kannst du mit Hilfe der Regel über die Ableitung der Umkehrfunktion herausfinden oder direkt durch Aufstellen des Differenzenquotienten mit Limes davon. Trick: n-te Wurzel von x durch t substituieren, alles mit t ausdrücken und auf den 1. Schritt zurückspielen. 3. Schritt: Die Regel gilt für f(x)=x^(m/n) mit ganzzahligen m,n und n>0. Das geht nun einfach mit Kettenregel: f(x)=(x^(1/n))^m. |
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| 25.06.2004, 15:25 | Joshi04 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe Phillips Antwort nun deuten können und auch verstanden. ICh versuche mal, deine Schritte durchzugehen, vielleicht krieg ich es damit ja auch hin. Danke. |
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