Komplexe zahlen und Untergruppe

14.12.2006, 11:46	lassessein	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe zahlen und Untergruppe Guten Morgen habe folgende Menge $\begin{eqnarray} F= \{ x+iy : x,y \in \mathbb R , x^{2}+y^{2}=1\} \end{eqnarray}$ als echte Teilmenge der komplexen Zahlen ohne Die Null. Nun soll ich zeigen, dass F eine Untergruppe bzgl der Multiplikation (normale multiplikation bzgl der komplexen Zahlen) der von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ mit der Multiplikation definierten Gruppe ist. Als erste die Abgeschlossenheit, heißt, dass $\begin{eqnarray} z1z2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z1=a+ib \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z2=c+id \end{eqnarray}$ wieder eine Gleichung vom Format $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}=1 \end{eqnarray}$ ergeben, oder!? Würde weiter heißen dass $\begin{eqnarray} z1z2=ac-bd+i(ad+bc) \end{eqnarray}$ . Muss ich jetzt solange umformen und umstellen bis ich auf diese Form hier komme? $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2}=1 \end{eqnarray}$ Oder wie mach ich das am geschicktesten!? Gruß
14.12.2006, 12:14	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, $\begin{eqnarray} F = \{z\in\mathbb C \big\|~ \|z\| = 1 \} \end{eqnarray}$ . Sind $\begin{eqnarray} z_1, z_2 \in F \end{eqnarray}$ , so folgt: $\begin{eqnarray} \|z_1z_2\|=\|z_1\|\|z_2\| = 1 \end{eqnarray}$ . So viel zur Abgeschlossenheit... Gruß, therisen

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