Induktionsschritt bei Summenformel

19.06.2011, 16:58

MaNic22

Induktionsschritt bei Summenformel

Meine Frage:
Hi Leute,

ich bin noch Anfänger bezüglich der Induktion und habe auch schon wieder eine Frage zu 2 Beispielen aus meinem Anfängerbuch. Es geht um die Beweise für die Summenformel für Zahlen von 1 bis n (1) und für die Quadratzahlen (2).

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ --> Formel 1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k^{2} = \frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ --> Formel 2

An sich sind ja beide nun einfach zu beweisen, man setzt zuerst n=1 ein und sieht, dass es bei beiden passt.
Aber dann wendet der Autor zwei Wege an, die an sich gleich scheinen, es aber im Detail irgendwie nicht sind.
Der Weg, den ich am leichtesten nachvollziehen kann, ist der von Formel 2, wo man folgendermaßen vorgeht:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k^{2} = \sum\limits_{k=1}^n k^{2}+ (n+1)^{2} = ... \end{eqnarray*}$

Die Trennung des (n+1)² von der Summe ist verständlich und der restliche weg auch. Nun wendet der Autor bei Formel 1 aber einen anderen weg an, obwohl es für mich so scheint, als könnte man diese mit dem selben Verfahren lösen.
Seine Induktionsvoraussetzung bei Formel 1 ist:

Für alle $\begin{eqnarray*} n \leq k \end{eqnarray*}$ gilt die Behauptung. Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} 1+2+...+k=\frac{k\cdot (k+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Nebenbei, was meint er mit insbesondere?
Aber eigentlich geht es jetzt um den Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \sum\limits_{k=1}^n k + (k+1) \end{eqnarray*}$

Also warum muss die Bed. $\begin{eqnarray*} n \leq k \end{eqnarray*}$ gelten? Woraus schließt er das? Und warum verwendet er hier auf einmal k+1 statt n+1? Und ist der Übergang
von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k + (k+1) \end{eqnarray*}$ überhaupt logisch?
Also ich durchblicke dieses Verfahren noch nocht ganz. Wäre dankbar für jede Hilfe smile

MfG ich

Meine Ideen:
Ich hab keine Idee...

20.06.2011, 14:18

Reksilat

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RE: Induktionsschritt bei Summenformel
Hi MaNic,

Zitat:

Seine Induktionsvoraussetzung bei Formel 1 ist:

Für alle $\begin{eqnarray*} n \leq k \end{eqnarray*}$ gilt die Behauptung. Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} 1+2+...+k=\frac{k\cdot (k+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Ich blicke da auch nicht durch. Vor allem sehe ich nicht, auf welche der beiden Variablen sich das beziehen soll. Wenn zudem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ überall sonst als Laufindex der Summation verwendet wird, dann sollte man es außerhalb der Summe nicht verwenden.
unglücklich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \sum\limits_{k=1}^n k + (k+1) \end{eqnarray*}$

Das gilt auch hier. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} k+1 \end{eqnarray*}$ ergibt außerhalb der Summe keinen Sinn, da das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nur innerhalb von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (...) \end{eqnarray*}$ definiert ist.
gemeint ist da wohl auch eher $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ .

Mach's doch einfach so:
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Behauptung:
Es gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)\cdot (n+2)}{2} \end{eqnarray*}$
Beweis:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k=\sum\limits_{k=1}^{n} k+(n+1)\stackrel{\rm Ind.vor.}{=}... \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

20.06.2011, 16:37

MaNic22

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RE: Induktionsschritt bei Summenformel
Ja du hast die Problematik durchschaut und den selben Lösungsweg gewählt wie ich es getan habe.

Doch frage ich mich, ob sein Weg wirklich so sinnlos sein kann. Immerhin ist es ein Buch für Studienanfänger von mehreren Autoren überprüft. Deshalb kann ich mir nicht vorstellen, dass sich ein so grober Fehler einschleicht.

Aber nun gut, solange wir den selben Weg zur Lösung gehen, bin ich beruhigt smile

20.06.2011, 18:09

Reksilat

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RE: Induktionsschritt bei Summenformel
Kannst Du mir mal sagen, um welches Buch es sich handelt und wo die Stelle zu finden ist? Würde mich schon interessieren, was da noch so steht.

Danke! smile

Gruß,
Reksilat.

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