Niveaufläche und grad f (x) berechnen

19.06.2011, 17:12

ghost88

Niveaufläche und grad f (x) berechnen

Hallo zusammen,

ich soll folgene Aufgabe berechnen aber habe keine Ahnung unglücklich

bitte euch also aller liebst um denkansätze !!!

Gegebene Funktion lautet: $\begin{eqnarray*} f(x_1 , x_2 , x_3) = (x_1 +x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) sinx x_1 \end{eqnarray*}$

1) Geben Sie die Gleichung der durch den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 = [\frac{\pi}{2} ,2 , 1]^T \end{eqnarray*}$ gehende Niveaufläche von f.
2) Berechne Sie grad f (x)

19.07.2011, 22:15

Burrito

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also
also für a) musst du sowieso b) machen also fange ich mit b an

grad f heißt gradient von f dazu musst du die partiellen ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx_1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx_2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx_3} \end{eqnarray*}$ machen.
so bekommst du den vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{df}{dx_1} \\ \frac{df}{dx_2} \\ \frac{df}{dx_3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für a) musst du nun den punkt in den gradient einsetzen und skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle\begin{pmatrix} \frac{df}{dx_1} \\ \frac{df}{dx_2} \\ \frac{df}{dx_3} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_1-\frac{\pi }{2} \\ x_2-2 \\ x_3-1 \end{pmatrix} \rangle=0 \end{eqnarray*}$ ausrechnen dies ist die niveaufläche zum punkt

es müsste rauskommen $\begin{eqnarray*} 0=(x_1-\frac{\pi}{2} )+4(x_2-2)+2(x_3-1) \end{eqnarray*}$ rauskommen

19.07.2011, 22:22

Cel

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Es ehrt dich, dass du helfen willst. Aber dieser Thread ist schon ziemlich alt, grabe also keine Threads aus, die schon alt sind. Augenzwinkern

Edit: Aber vielleicht wird ja noch Hilfe benötigt, warten wir mal ab. Mein Hinweis gilt nicht allgemein. Meistens hört man aber nach über einem Monat nicht mehr viel vom Threadersteller, wenn er sich nach Threaderstellung nicht noch mal meldet.

19.07.2011, 22:25

Burrito

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hm
stimmt hab ich nicht drauf geachtet hab grad nur selber mir den kopf zerbrochen und ich wollt mal ausprobieren weil ich hier neu bin

20.07.2011, 18:42

Dopap

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RE: also
@Burrito

Zitat:

Original von Burrito
... partiellen ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx_1} \end{eqnarray*}$ ...

wenn du neu bist, noch Tipps zum schönen Schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd f}{\dd x_1} \end{eqnarray*}$

wäre die schöne Ausführung der Ableitung und

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} \end{eqnarray*}$

die schöne Ausführung der partiellen Ableitung.

LATEX schreibt Buchstaben kursiv als Variable. Konstanten und Operatoren sollten normal sein, also

$\begin{eqnarray*} \sin (x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} sin( x) \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} \mathrm s_0=3.67 \mathrm m ~ \text {und nicht} ~ s_0=3.67 m \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

05.07.2014, 16:47

hermann1337

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ich grab das Teil hier mal aus, da ich grade die selbe Aufgabe rechne

Ich bekomme da für die partiellen Ableitungen folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{x1} \equiv cos(x1)*\left(x1+x2^{2}+x3^{2}+ sin(x1)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{x2} \equiv 2*x2*sin(x1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{x3} \equiv 2*x3*sin(x1) \end{eqnarray*}$

also genau das gleiche wie in dieser aufgabe. habe dann auch die gleiche Ebene wie Burrito in seiner Antwort.

Allerdings habe ich noch eine weitere Teilaufgabe:

[attach]34775[/attach]

Ich versteht jetzt nicht so ganz was der Unterschied zwischen b und c ist?

Ich habe doch mit
$\begin{eqnarray*} 0=(x_1-\frac{\pi}{2} )+4(x_2-2)+2(x_3-1) \end{eqnarray*}$

schon die Tangentialebene gegeben oder nicht? Was war denn dann meine Niveaufläche?

05.07.2014, 22:32

hermann1337

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kann mir da keiner weiterhelfen?

06.07.2014, 00:42

Dopap

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irgendwie scheint hier etwas nicht zu stimmen.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} x_4=f(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ also sind wir im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Die Tangentialebene in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{01} \\ x_{02} \\ x_{03} \\ f(\vec x_0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist folglich eine Hyperebene.

Der Gradient müsste demnach der Gradient der impliziten Funktion $\begin{eqnarray*} g(\vec x)=x_4-f(\vec x) \end{eqnarray*}$ sein -

- und die Tangentialebene dann $\begin{eqnarray*} \nabla g(\vec x )\bullet (\vec x-\vec x_0)=0 \end{eqnarray*}$

oder verwirrt

06.07.2014, 11:45

hermann1337

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Zitat:

Original von Dopap
irgendwie scheint hier etwas nicht zu stimmen.

Es gilt doch $\begin{eqnarray*} x_4=f(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ also sind wir im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Die Tangentialebene in $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{01} \\ x_{02} \\ x_{03} \\ f(\vec x_0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist folglich eine Hyperebene.

Der Gradient müsste demnach der Gradient der impliziten Funktion $\begin{eqnarray*} g(\vec x)=x_4-f(\vec x) \end{eqnarray*}$ sein -

- und die Tangentialebene dann $\begin{eqnarray*} \nabla g(\vec x )\bullet (\vec x-\vec x_0)=0 \end{eqnarray*}$

oder verwirrt

Da haste dir ja tief in der Nacht noch den Kopf zerbrochen.

Ich werd gleich auch noch mal ran und dann meine Ergebnisse hier mitteilen.

07.07.2014, 16:19

hermann1337

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Hmm ich schwanke immernoch zwischen den beiden Möglichkeiten...

Hat vllt. noch wer eine Erklärung in welche Richtung es nun geht?

07.07.2014, 20:27

Dopap

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also, noch mal weiter im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ gedacht:

1.) die ( nicht gesuchte) Tangentialhyperebene im Punkt $\begin{eqnarray*} P(\tfrac \pi 2, 2,1,f(\tfrac \pi 2, 2,1)) : \quad \nabla g(\vec p)\bullet (\vec x -\vec p)=0 \end{eqnarray*}$

2.) für die Niveauhyperfläche im Punkt P gilt:

$\begin{eqnarray*} N=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \, | \, (x_1+x_2^2+x_3^2)\sin(x_1)=f(\tfrac \pi 2,2,1) \} \end{eqnarray*}$

3.) für die Tangentialebene an die Niveaufläche in P gilt:

$\begin{eqnarray*} E=\bigg \{(x_1,x_2,x_3,x_4) \, \bigg|\, \nabla f((x_1,x_2,x_3))\bullet \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \tfrac \pi 2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} \right) =0 \land x_4 = f(\tfrac \pi 2, 2,1) \bigg \} \end{eqnarray*}$

es kann aber auch sein, dass ich die Aufgabe nicht richtig verstanden habe. verwirrt

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