Mengenlehre - Diverse Fragen

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Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre - Diverse Fragen
Meine Frage:
Guten Abend

Ich bereite mich gerade auf mein erstes Vordiplom im Informatik-Studium vor, habe aber einige Grundlegende Fragen zur Mengenlehre.

Ich habe folgende Aufgaben:

1. Geben Siew unendliche Mengen An an, so dass


=

und gleichzeitig


{ }

gilt.


und b.) Bestimmen Sie die Potenzmenge von ({{0},0} {1})



Meine Ideen:
Bei a habe ich mich folgendes überlegt:

Ich habe folgende Teilmengen gebildet:

A = { n | n ist gerade } und
B = { n | n ist ungerade }

Meine Überlegung dabei ist, dass folgendes gilt:

und gleichzeitig
{}

gilt.

Für b) (mit 0 sind leere Mengen gemeint) habe ich keine Ideen :-(

Meine Frage nun:

Ist bei a) die Überlegung korrekt?
Und b) Ein Denkanstoss wäre hilfreich. Danke
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Fish- Guts,

also deine Grundidee zu a) ist schon mal sehr gut. Allerdings verstehe ich die Aufgabenstellung so, dass man für JEDES n€N eine Mange A_n angeben soll. Du hast aber erst zwei Mengen A_1 und A_2 angegeben.

bei b) müssen wir dann also ganz von vorn anfangen. Was ist denn eine Potenzmenge?
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Dustin

Danke für die Antwort. Zu 1 glaube ich nicht, dass das so ist, da A und B unendliche Mengen sind. Kann mich aber träuschen.

// EDIT: Zu beachten sei, dass dass unter dem Vereinigungszeichen stehen sollte (der Editor kann das leider nicht).

Zu 2.) Eine Potenzmenge P(A) ist die Menge die alle Teilmengen von A enthält, also z.B. P({0, 1}) = {∅, {0}, {1}, {0, 1})

Mit einer eindimensionalen Menge kann ich das auch, aber sobald eine Menge mehrere Elemente enthält bekomme ich Schwierigkeiten.

Gruss

FG
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gerade weil unter dem Vereinigungs-/Schnittzeichen ein n€N steht, meine ich, dass man unendlich viele Mengen angeben soll.

Also steht das so da?



Und unter dem Vereinigungszeichen steht ?

zu b): Wie bitte lautet der erste Teil deiner Potenzmenge??

Und gleich als nächste Frage: Aus wie vielen Elementen besteht denn deine Menge aus der Aufgabe?
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Zu 1.) Jawohl, so steht das da. Aber wie soll ich unendlich viele Mengen angeben? So wie ich das verstehe, ist die Vereinung eine Indexmenge auf , und dafür gilt für jedes n

Zu 2. Da ist alles. Die Aufgabe ist P({{0},0}{1})

Ich muss also alle Elemente dieser Potenzmenge in der aufzählenden Form angeben.

Gruss

FG
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1. Also ganz sicher bin ich mir auch nicht, wenn die Aufgabe wörtlich so dasteht, wie du sie hier formuliert hast ("Geben Sie unendliche Mengen an..." ohne eine genaue Erklärung, wie viele unendliche Mengen man angeben soll), dann ist es wohl OK so, wie du es gemacht hast.

zu 2. Ja, das war ja jetzt eine Wissensfrage an dich. Ich will von dir wissen, wie viele Elemente die Menge {{leere Menge}, leere Menge} U {1} hat. Also zum Beispiel: Deine Beispielmenge {0; 1} hat ja zwei Elemente, die 0 und die 1. Und jetzt wüsste ich gern von dir, wie viele Elemente die Menge {{leere Menge}, leere Menge} U {1} hat und welche das sind.
 
 
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Also wenn ich zunächst mal die Vereinung auflöse, dann sollte das m.E. so aussehen:

P({{0}.0}{1} = P({{{(0}.0},1}

Es handelt sich als um eine Menge, die zwei Mengen beinhaltet, eine Menge A, die die Mengen {0} und 0 beinhaltet, und eine Menge B die 1 beinhaltet.

Vereinigt mal diese Mengen ergibt das das obenstehende. Nun muss ich alle möglichen Kombinationen dieser vereinigten Menge in aufzählender Form angeben, richtig?

Gruss
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt leider nicht ganz (obwohl ich das auch erst so dachte). Wenn man zwei Mengen zu einer vereinigt, entfallen die Mengenklammern der beiden ursprünglichen Mengen. Beispiel:

{0}U{1} = {0;1} und nicht {{0};{1}} !

Also nochmal smile
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Na in dem Falle müsste das ann wohl so aussehen:


P({{0}.0}{1} = P({{(0},0,1}

Ich habe es mir mal aufgezeichnet, und so scheint das einen Sinn zu ergeben.

Nun muss ich ja (glaube ich) alle Möglichkeiten aufzählen, und das könnte dann so aussehen:

als erstes rechne ich P({0}) aus. Das müsste folgendes ergeben: {0,{0}}
Dann habe ich folgende Menge: {{0,{0}},0,1}
Dann bestimme ich den Rest:

Aber weiter komme ich irgendwie nicht... Die Klammern verwirren mich immer unglücklich
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wie viele Elemente hat die Menge {{leere Menge}, leere Menge, 1} denn nun? Und welche Elemente sind das?

Zitat von dir:
Dann habe ich folgende Menge: {{0,{0}},0,1}

Also diese Menge ist jetzt aber ein Mischmasch aus Potenzmenge und noch-nicht-Potenzmenge, damit kann ich jetzt nix anfangen.
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge {{leere Menge}, leere Menge, 1} hat somit 3 Elemente.

1. Eine Menge mit einer leeren Menge
2. Leere Menge
3. 1

Seh ich das richtig?
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso ist es smile

Wenn du also mit den Klammern Probleme hast, dann benenn doch die Elemente einfach erstmal in A, B, C um. Du hast jetzt also P({A,B,C}). Wie sieht diese Potenzmenge dann aus?
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich P({A,B,C}) habe ergibt das:

{leere Menge, {A}, {B}, {C}, {A,B}, {A,C}, {B,C}, {A,B,C}}

Korrekt?
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

Genau smile Und wie sieht das jetzt bei deiner Menge aus? Einfach A,B,C ersetzen!
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, kommt das unegfähr hin?

{ leere Menge, {{leere Menge}}, { leere Menge }, { 1 }, {{leere Menge}, 1}, {{leere Menge}, leere Menge}, {leere Menge, 1}, {{leere Menge}, leere Menge, 1}}

Oder mit Nullen dargestellt:

{0, {{0}}, {0}, {1}, {{0},1}, {{0},0}, {0,1}, {{0},0,1}}.

Stimmt das so?
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

Genau smile Siehste so schwer war's doch gar nicht smile
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Super

Vielen Dank für deine Hilfe, hat mich echt weitergebracht Big Laugh


Grüsse

FG
Dustin B. Auf diesen Beitrag antworten »

Na ,und das is doch die Hauptsache smile
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

Ich bins nochmal. Bei der ersten Teilaufgabe ist es also effektiv so, dass ich unendlich viele Mengen angeben muss. Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das formal anstellen soll.

Eine Überlegung dabei ist, dass jede Menge genau ein Element und entsprechende unendlich oft gilt.

Ist dieser Denkansatz sinnvoll? Wenn ja, wie kann ich das nun formal darstellen?


Könnte das so gehen:



Danke und Gruss

FG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz anderer Vorschlag: Denke an die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Wenn z.b. genau die Menge aller Zahlen ist, die das Produkt aus n (nicht notwendig verschiedener) Primzahlen sind.

Fehlen würde noch die 1. Aber die bringt man noch irgendwo unter. Z.b. bei (das sind ja die Primzahlen selbst)
Fish-Guts Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber ich muss ja unendlich viele Mengen definieren. Von daher könnte ich mir vorstellen, dass meine Lösung naheliegt. Was meinst du?
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