Kombination Würfelwurf mit Konfidenzniveau - Wie oft mindestens würfeln? |
| 20.06.2011, 09:07 | TingelTangel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kombination Würfelwurf mit Konfidenzniveau - Wie oft mindestens würfeln? Hi, stehe leider auf dem Schlauch bzw. habe nichts gefunden. Angenommen ich habe einen 8-seitigen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, eine 8 zu würfeln, beträgt 12,5%. Wie oft muss ich mindestens würfeln (Wie groß muss meine Stichprobe sein), damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% (ist das ein Konfidenzniveau?) mindestens x-mal eine 8 würfle. Meine Ideen: Sorry, ich habe zwar (Richtung LaPlace) gefunden, wie oft ich würfeln muss, damit ich mindestens einmal eine 8 würfle, weiß aber nicht wie ich das Konfidenzniveau (95%) da reinbastle... Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe. |
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| 20.06.2011, 10:38 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, sammeln wir doch mal die Informationen. Wir würfeln einen Würfel n mal. Gesucht ist ein n, so dass für ein vorgegebenes x die Wahrscheinlichkeit x mal eine 8 zu Würfeln 95% ist. Es muss mindestens gelten. (Denn sonst könnten wir nicht x mal eine 8 Würfeln) Ich denke , die Annahme , dass die Würfe stochastisch Unabhängig sind , geht in Ordnung. Wir haben jetzt also die Eintrittwahrscheinlichkeit von 12.5% von stochastisch unabhöngigen, gleichen Ereignissen. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung kennst Du, die genau auf dieses Problem zutrifft? |
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| 20.06.2011, 15:04 | TingelTangel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, erstmal vielen Dank, ich glaube ich bin etwas weitergekommen. Bezüglich der Grundlagen der Stochastik: Das ist bei mir zu lange her, als dass ich das noch vernünftig abrufen könnte. Ich versuch mich da gerade durchzugoogeln. Habe leider keine Zeit alles nochmal von der Pike auf zu verstehen, wäre aber wohl mal angebracht... 
Vermute aber mal eine Binominalverteilung ist ganz passend, da wir zwei mögliche Ausgänge haben (Würfeln einer 8 oder einer 1-7) und wir konstante Wahrscheinlichkeiten haben? Ich versuchs mal: n ist die anzahl der versuche (wollen wir hier wissen) k die anzahl der treffer (mindestens einer) p die wahrscheinlichkeit eines treffers (1/8) q die wahrscheinlichkeit keines treffers (7/8) P = (n über k) * p^k * q^(n-k) D.h. wenn ich jetzt die WS für das Ereignis (keine 8) berechne, und die WS dafür max 5% sein darf, wäre die Formel: 0,05= (n über 0) * (1/8)^0 * (7/8)^n-0 0,05 = 1 * 1 * (7/8)^n-0 ln0,05 = n* ln(7/8) D.h. wenn ich das nach n auflöse, erhalte ich n= 22,43 D.h. ab dem 23. Würfelwurf ist die WS >95%, dass ich mind. eine 8 gewürfelt habe. Ist das so richtig? Nächste Frage: Wie berechne ich nun, und da seh ich leider nicht wie ich das in die Formel eingeben kann, wie oft ich mindestens würfeln muss um mind. 2mal eine 8 zu würfeln... Wenn ich k=1 setze ist das nicht richtig, ich müsste irgendwie k>1 setzen. Hmm. ich weiss es nicht... Hat einer ne Idee? Vielen lieben Dank für eure Hilfe, Gruss Tingel |
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| 20.06.2011, 15:18 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig ! Deine Rechnungen sind auch in Ordnungen. Zur Aufgabe : Die Wahrscheinlichkeit in n Versuchen (genau) x mal zu treffen ist gegeben durch : Wobei ist. Wir erhalten also die Gleichung : Das Ganze muss nach n umgestellt werden. Du erhältst dann als Lösung einen Ausdruck der Abhängig von x ist ! (Schließlich ist für jedes x ein anderes n nötig). Soweit ich das jetzt überblicke wirds nicht ganz so einfach den obigen Ausdruck nach n umzustellen. |
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| 20.06.2011, 15:32 | TingelTangel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, danke! Aber ich will ja eigentlich nicht die benötigte Stichprobengröße ausrechnen, genau x-mal eine 8 zu würfeln, sondern in meinem Fall genauer, wie oft ich würfeln muss, um z.B. mindestens zweimal eine 8 zu würfeln. Kann man das mit einer Ungleichung irgendwie machen? Also x größer gleich 2, wie groß muss dann n sein? Danke, Gruss Tingel |
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| 20.06.2011, 15:35 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die Binomialverteilung ist Das ergibt sich unmittelbar aus der Formel edit : Als Tip : Je nach dem wie groß x im Verhältnis zu n ist, ist es manchmal günstiger zu bestimmen und dann das Gegenereignis zu bilden. |
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