Einige Gedanken zur Differentialungleichung...

20.06.2011, 12:44

Ibn Batuta

Einige Gedanken zur Differentialungleichung...

Hi Leute,

ich habe mir einige Gedanken zur folgenden Differentialungleichung gemacht und mich würde es interessieren, ob sie zielführend sind oder eher Schrott.

Sei $\begin{eqnarray*} y\in C^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Differentialungleichung $\begin{eqnarray*} \dot{y}(t)\ge y(t) \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(0)\ge 1 \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} y(t)\ge e^t~\forall t\ge 0 \end{eqnarray*}$

Folgende Ideen von mir:

Die 1. Idee

Aus $\begin{eqnarray*} \dot{y}(t)\ge y(t) \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{\dot{y}(t)}{y(t)}\ge 1 \end{eqnarray*}$ und nun integrieren nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bringt $\begin{eqnarray*} \ln y(t) \ge t \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} y(t)\ge e^t \end{eqnarray*}$

Ist das damit schon gezeigt?

Die andere Idee ist folgende:

$\begin{eqnarray*} \dot{y}(t)\ge y(t) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es ex. ein $\begin{eqnarray*} h(t)>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \dot{y}(t)+h(t)= y(t) \end{eqnarray*}$
Und wie mache ich an diesem Ansatz weiter? verwirrt

Danke euch!

Ibn Batuta

21.06.2011, 09:11

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Die 1. Idee

Aus $\begin{eqnarray*} \dot{y}(t)\ge y(t) \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} \frac{\dot{y}(t)}{y(t)}\ge 1 \end{eqnarray*}$ und nun integrieren nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ bringt $\begin{eqnarray*} \ln y(t) \ge t \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} y(t)\ge e^t \end{eqnarray*}$

Ist das damit schon gezeigt?

An sich keine schlechte Idee. Allerdings hast du was übersehen. Um rauszufinden, was in deiner Argumentation schiefgeht, betrachte z.B.

$\begin{eqnarray*} y(t) = -e^{-t} \end{eqnarray*}$

oder einfacher $\begin{eqnarray*} y(t) = \frac12 e^{t} \end{eqnarray*}$ .

Wink

21.06.2011, 11:04

Ibn Batuta

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Dein Einwand ist in der Tat berechtigt, denn sei $\begin{eqnarray*} y(t)=\frac{1}{2}e^t \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \dot{y}(t)=\frac{1}{2}e^t \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} \frac{\dot{y}(t)}{y(t)}=\frac{\frac{1}{2}e^t}{\frac{1}{2}e^t}=1\ge t \end{eqnarray*}$ Widerspruch zu für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Aber die Anfangswertbedingung ist bei den von dir vorgeschlagenen Funktionen nicht erfüllt.. Denkbar wäre folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} y(t)=2e^t \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} y(0)=2\ge 1 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \frac{\dot{y}(t)}{y(t)}=\frac{2e^t}{2e^t}=1\ge t \end{eqnarray*}$ , was auch zu einem Widerspruch führt..

Ist die Frage, was ich übersehen habe... Kannst du mir da einen Tipp geben?

Was hältst du von der 2. Idee?

Ibn Batuta

21.06.2011, 11:29

gonnabphd

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Zitat:

Aber die Anfangswertbedingung ist bei den von dir vorgeschlagenen Funktionen nicht erfüllt..
[...]
Ist die Frage, was ich übersehen habe... Kannst du mir da einen Tipp geben?

Du hast die Anfangsbedingung in deiner Argumentation doch gar nicht einbezogen. D.h. meine vorgeschlagenen Funktionen zeigen, weshalb deine Argumentation nicht vollständig ist. (Es ist schon klar, dass ich kein Gegenbeispiel zur usrpünglichen Aussage finden werde, da sie ja richtig ist Augenzwinkern

)

21.06.2011, 13:15

Ibn Batuta

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Hm.. Wie bringe ich die Anfangsbedingung geschickt in meine Argumentation denn ein? verwirrt

Mir fällt dazu leider nichts ein.

Ibn Batuta

21.06.2011, 14:05

gonnabphd

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Die allgemeine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist eben nicht $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , sondern?

Ein zweiter Weg wäre übrigens die Funktion $\begin{eqnarray*} g(t) = y(t)e^{-t} \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Insbesondere $\begin{eqnarray*} \frac{dg}{dt} \end{eqnarray*}$ .

Ein dritter Weg wäre folgendes: Man kann im Prinzip alle Lösungen der Ungleichung angeben. (Das wäre dein zweiter Ansatz.)

Da $\begin{eqnarray*} \dot y \ge y \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} h := \dot y - y\ge 0 \end{eqnarray*}$ und wir können die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} \dot y = h + y \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \dot y - y = h \end{eqnarray*}$

für beliebiges $\begin{eqnarray*} h\ge 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ betrachten. Die allgemeine homogone Lösung ist $\begin{eqnarray*} y_h(t) = Ce^t \end{eqnarray*}$ .

Mittels Variation der Konstanten erhalten wir eine partikuläre Lösung $\begin{eqnarray*} y_p(t) =\left( \int_0^t h(\tau) e^{-\tau} \, d\tau \right) e^t \end{eqnarray*}$

Also ist die allgemeine Lösung gegeben durch $\begin{eqnarray*} y(t) = y_h(t) + y_p(t) = \left( C + \int_0^t h(\tau) e^{-\tau} \, d\tau \right) e^t \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} y(0) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass jede Lösung von der Form

$\begin{eqnarray*} y(t) = \left(1 + \int_0^t h(\tau) e^{-\tau} \, d\tau \right) e^t \end{eqnarray*}$

sein muss. Das können wir nun noch ein bisschen verschönern, da $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ irgendeine nichtnegative Funktion sein kann, wodurch dann das integral eine beliebige monotone Funktion sein wird. Somit ist die allgemeine Lösung des Problems gegeben durch

$\begin{eqnarray*} y(t) = g(t)e^t \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} g\in C^1([0,\infty)) \end{eqnarray*}$ monoton mit $\begin{eqnarray*} g(t) = 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Insbesondere sehen wir wieder, dass $\begin{eqnarray*} y(t) \ge e^t \end{eqnarray*}$ sein muss.

smile

22.06.2011, 11:15

BieneMaja

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kann man vielleicht so argumentieren, dass aus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}dy\geq 1dt \end{eqnarray*}$ folgt:
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{y} \, dy\geq \int_a^b \! 1 \, dt \end{eqnarray*}$ , weil man sich laut anfangsbedingung im 1. quadranten eines koordinatensystems befindet, und da $\begin{eqnarray*} 1 dt \end{eqnarray*}$ eine positive Funktion ist, muss auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}dy \end{eqnarray*}$ positiv sein, also immer überhalb $\begin{eqnarray*} 1 dt \end{eqnarray*}$ verlaufen, also ist auch das integral von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{y}dy \end{eqnarray*}$ größer als das integral von $\begin{eqnarray*} 1 dt \end{eqnarray*}$
Ich weiß die Begründung ist etwas holprig, aber so hatte ich mir das überlegt.
Gruß Biene Wink

22.06.2011, 12:41

gonnabphd

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Ja, man kann schon so in der Art argumentieren, allerdings solltest du noch ein bisschen an der Formulierung arbeiten. Schöner wäre etwas was irgendwie folgendermassen beginnt:

Für alle $\begin{eqnarray*} c < t \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{y}(t)}{y(t)}\ge 1 \quad \implies \quad \int_c^t \frac{\dot y}{y} \, dt \ge \int_c^t 1 \, dt \end{eqnarray*}$

Daraus lässt sich dann die Abschätzung (auf saubere Art) gewinnen. Augenzwinkern

22.06.2011, 17:03

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von gonnabphd
Für alle $\begin{eqnarray*} c < t \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{y}(t)}{y(t)}\ge 1 \quad \implies \quad \int_c^t \frac{\dot y}{y} \, dt \ge \int_c^t 1 \, dt \end{eqnarray*}$

Daraus lässt sich dann die Abschätzung (auf saubere Art) gewinnen. Augenzwinkern

Genau so hatte ich es heute früh auf gelöst. War wohl mein letztes Matheblatt. smile

Ibn Batuta

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