Anzahl der reellen Lösungen bestimmen

20.06.2011, 14:45

wisor1992

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Anzahl der reellen Lösungen bestimmen

Aufgabe: Bestimmen Sie für veränderliches k die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung: $\begin{eqnarray*} x^3-x^2-k+1=0 \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag: $\begin{eqnarray*} y'=3x^2-2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''=6x-2 \end{eqnarray*}$

y'=0 => x1=0 und x2=2/3
$\begin{eqnarray*} y''(0)=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''(\frac{2}{3} )=2 \end{eqnarray*}$

MIN (2/3, -4/27) , MAX (0/0)

Aber wie finde ich jetzt die Lösungen mit k=1 heraus?

20.06.2011, 14:48

René Gruber

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Zitat:

Original von wisor1992
MIN (2/3, -4/27) , MAX (0/0)

Wo ist denn bei den $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Koordinaten Parameter $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abgeblieben? verwirrt

verwirrt

20.06.2011, 14:49

wisor1992

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k-1 ist ja nur eine parallele Linie

20.06.2011, 14:52

René Gruber

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Zitat:

Original von wisor1992
k-1 ist ja nur eine parallele Linie

Versteh ich nicht, diesen Kommentar. unglücklich

unglücklich

Ich hab die Aufgabe so verstanden, dass du für alle möglichen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Lösungen bestimmen sollst. Und da ist es ziemlich unklug, sich gleich auf ein konkretes $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ festzulegen, stattdessen sollte man schon (soweit es geht) mit variablen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ rechnen.

20.06.2011, 14:55

wisor1992

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Könntest Du mir bitte weiterhelfen
Leider verstehe ich nicht, was Du damit meinst

20.06.2011, 15:05

René Gruber

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Na was meine ich wohl damit: Wenn du die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) = x^3-x^2-k+1 \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann ist eben nicht $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ , wie du mit deinem MAX (0/0) suggerierst, sondern $\begin{eqnarray*} y(0)=-k+1 \end{eqnarray*}$ am lokalen Maximum. Selbiges (d.h. die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) gilt für das lokale Minimum. Und aus der Lage von Minimum und Maximum über bzw. unter der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse (je nach Wert von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) lassen sich per Zwischenwertsatz Rückschlüsse auf die Anzahl der Nullstellen dieser Funktion ziehen.

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20.06.2011, 15:13

wisor1992

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$\begin{eqnarray*} k-1<\frac{-4}{27}\Rightarrow k<\frac{23}{27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k-1= \frac{-4}{27}\Rightarrow k=\frac{23}{27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k-1>\frac{-4}{27} \Rightarrow k>\frac{23}{27} \end{eqnarray*}$

meinst du das?

20.06.2011, 15:16

René Gruber

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Du stellst hier Ungleichungen auf, aber nennst nicht die inhaltlichen Hintergründe, wozu das jeweils gehört. Soll ich die mir selbst dazudenken? Nein, du hast sie zu erläutern. Formeln sind nicht alles. unglücklich

unglücklich

20.06.2011, 15:20

wisor1992

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Was soll ich hier noch erklären? Ist doch klar oder?
Ich verstehe nur nicht wie ich jetzt herausfinde, wieviele Lösungen k in diesem Bereich hat z.B. $\begin{eqnarray*} k<\frac{23}{27} und k>1 \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 15:22

René Gruber

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Zitat:

Original von wisor1992
Was soll ich hier noch erklären? Ist doch klar oder?

Na dann ist ja alles klar. Wozu nochmal hast du hier überhaupt einen Thread eröffnet?

20.06.2011, 15:23

wisor1992

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Ich verstehe nicht, wie ich die Lösungen herausfinde!

20.06.2011, 15:25

René Gruber

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Zitat:

Original von René Gruber
Und aus der Lage von Minimum und Maximum über bzw. unter der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse (je nach Wert von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) lassen sich per Zwischenwertsatz Rückschlüsse auf die Anzahl der Nullstellen dieser Funktion ziehen.

Mach dir eine Skizze und denk mal darüber nach!

20.06.2011, 15:26

wisor1992

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So folgende Zeichnung habe ich erstellt

20.06.2011, 15:29

René Gruber

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Also gut, du willst nichts erläutern oder kannst es nicht, knallst nur Formeln oder Graphen unkommentiert hin. unglücklich

unglücklich

Es gibt, was das Schnittverhalten des Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse betrifft, insgesamt 5 Fälle hinsichtlich Position der Minima/Maxima zu betrachten:

1) f(0) < 0
2) f(0) = 0
3) f(0) > 0 > f(2/3)
4) f(2/3) = 0
5) f(2/3) > 0

In jedem der 5 Fälle kannst du klar sagen, wieviel Nullstellen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat, und aus den Fallbedingungen (in Form der og. Ungleichungen) lässt sich der zugehörige $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -Bereich ermitteln.

20.06.2011, 15:43

wisor1992

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wenn k>1 => 1 Lösung
wenn \frac{23}{27}<k<1 => 1Lösung
wenn k=\frac{23}{27} => 1Lösung
stimmt das?

20.06.2011, 15:47

René Gruber

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Zitat:

Original von wisor1992
wenn k>1 => 1 Lösung

Stimmt.

Zitat:

Original von wisor1992
wenn \frac{23}{27}<k<1 => 1Lösung

Nein, es sind 3 Lösungen.

Zitat:

Original von wisor1992
wenn k=\frac{23}{27} => 1Lösung

Nein, es sind da 2 Lösungen.

Schlechte Quote. Und zwei der Fälle fehlen noch.

20.06.2011, 15:48

wisor1992

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warum sind 3 Lösungen vorhanden? Es schneidet sich ja nur einmal mit der Kurve

20.06.2011, 15:51

René Gruber

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So? Na dann betrachten wir mal den Graph für $\begin{eqnarray*} k=\frac{24}{27} \end{eqnarray*}$ :

Ich sehe da klar und deutlich 3 Schnittpunkte.

20.06.2011, 15:53

wisor1992

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k=0,8888 => eine parallele Linie zu der x-Achse (siehe grüne Linie) ergibt bei mir nur einen Schnittpunkt

20.06.2011, 15:57

René Gruber

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Von welcher Aufgabe redest du? Jedenfalls nicht von der hier:

Zitat:

Original von wisor1992
Aufgabe: Bestimmen Sie für veränderliches k die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung: $\begin{eqnarray*} x^3-x^2-k+1=0 \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 16:09

René Gruber

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Langsam beginne ich zu begreifen: Eine Serie von Missverständnissen, und nur wegen deiner verdammten Erklärfaulheit! böse

böse

Ich habe im Beitrag

Zitat:

Original von René Gruber
Na was meine ich wohl damit: Wenn du die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) = x^3-x^2-k+1 \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann ist eben nicht $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ , wie du mit deinem MAX (0/0) suggerierst, sondern $\begin{eqnarray*} y(0)=-k+1 \end{eqnarray*}$ am lokalen Maximum. Selbiges (d.h. die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) gilt für das lokale Minimum. Und aus der Lage von Minimum und Maximum über bzw. unter der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse (je nach Wert von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) lassen sich per Zwischenwertsatz Rückschlüsse auf die Anzahl der Nullstellen dieser Funktion ziehen.

DEUTLICH kenntlich gemacht, dass ich von der Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) = x^3-x^2-k+1 \end{eqnarray*}$ rede, bei der es um die Nullstellen geht. Da hast du nicht interveniert, und dass du stattdessen lieber die Funktion $\begin{eqnarray*} y(x) = x^3-x^2 \end{eqnarray*}$ betrachten willst, und von der nicht die Nullstellen, sondern die Schnittpunkte mit Niveaulinien $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ .

Nein, du beschränkst dich auf hingeworfene Kurzsätze wie

Zitat:

Original von wisor1992
k-1 ist ja nur eine parallele Linie

dessen Bedeutung mir erst jetzt klar wird. Das ist keine Basis für eine Zusammenarbeit. unglücklich

unglücklich

P.S.: Wenn du schon $\begin{eqnarray*} y(x)=x^3-x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0.8888 \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann betrachte doch bitte die Niveaulinie $\begin{eqnarray*} k-1 \end{eqnarray*}$ statt wie bei dir $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Forum Kloppe

Forum Kloppe

20.06.2011, 16:32

wisor1992

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Danke trotzdem auch wenn es Dir schwer gefallen ist Prost

Prost

Wink

20.06.2011, 16:38

René Gruber

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Es ist ein Ärgernis: Warum hast du nicht eher den Mund aufgemacht? Oder überhaupt mal den Mund aufgemacht für mehr als einen kurzen Satz? Stattdessen lässt du mich hier auflaufen, und das nehm ich dir wirklich übel. unglücklich

unglücklich

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