Verständnisproblem Schnittwinkel zw. 2 Ebenen

20.06.2011, 15:14

fontsix

Verständnisproblem Schnittwinkel zw. 2 Ebenen

Hallo zusammen. Ich möchte den Schnittwinkel zwischen 2 Ebenen berechnen die da lauten.

$\begin{eqnarray*} 2x + y - z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + y + 2z = 0 \end{eqnarray*}$

Nun hatte ich mir gedacht das man ja einfach aus den Ebenengleichungen jeweils den Normalenvektor ablesen kann also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Über die Cosinusformel liesse sich ja dann der Schnittwinkel über das Skalarprodukt der Normalenvektoren und die Beträge der Normalenvektoren ausrechnen.

In diesem Fall erhalte ich aber einen Winkel von 80,41 °. Die richtige Lösung ergibt aber 59,53 °.
In der Lösung sehe ich nun das der Lehrer erst aus dem Gleichungssystem die Werte für x, y und z bestimmt hat und daraus dann erst die Normalenvektoren aufgestellt hat.

Nun meine Frage ... Muss ich das denn generell machen ? Wann kann ich einfach den Normalenvektor aus dem Gleichungssystem ablesen ohne vorher das Gleichungssystem lösen zu müssen ? Hat es etwas damit zu tun ob ich neben dem Gleichheitszeichen eine 0 oder einen anderen Wert stehen habe ?

Ich bin gerade ziemlich verunsichert. Vielen Danke schonmal für die Hilfe

20.06.2011, 15:45

riwe

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RE: Verständnisproblem Schnittwinkel zw. 2 Ebenen
da hast du vollkommen richtig gedacht.
mit diesen vektoren stimmt der von dir berechnete winkel Freude

20.06.2011, 15:58

fontsix

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http://imageshack.us/f/543/schnittwinkel.jpg/

Dann verstehe ich aber diese Lösung nicht ... traurig

20.06.2011, 16:22

riwe

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Zitat:

Original von fontsix

http://imageshack.us/f/543/schnittwinkel.jpg/

Dann verstehe ich aber diese Lösung nicht ... traurig

wer lesen kann ist klar im vorteil unglücklich

das ist doch eine ganz andere aufgabe.
$\begin{eqnarray*} cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \\ 0\end{pmatrix} }{\sqrt{35}}\to \alpha\approx 59.53 \end{eqnarray*}$

20.06.2011, 16:28

fontsix

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NEIN ist es nicht. Die Aufgabe ging nur auf der nächsten Seite weiter. Sie gehört noch mit zur Ausgangsaufgabe. Ist nur leider ein anderer Lösungsansatz, wo ich nicht verstehe warum man das so löst und warum ein anderes Ergebnis herauskommt.

20.06.2011, 16:37

riwe

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Zitat:

Original von fontsix
NEIN ist es nicht. Die Aufgabe ging nur auf der nächsten Seite weiter. Sie gehört noch mit zur Ausgangsaufgabe. Ist nur leider ein anderer Lösungsansatz, wo ich nicht verstehe warum man das so löst und warum ein anderes Ergebnis herauskommt.

dann halt nicht. geschockt

es steht doch dort dezidiert: bestimme den winkel zwischen der SCHNITTGERADEN der beiden ebenen und der X-ACHSE.

aber sturheit vor schlauheit unglücklich

20.06.2011, 16:39

fontsix

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Ok, jetzt habe ich meinen Fehler bemerkt. Es war nach dem Schnittwinkel zwischen Schnittgerade der Ebenen und x-Achse gesucht und nicht nach dem Schnittwinkel zwischen den Ebenen.

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